第13章13.3.1空间图形的表面积
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.通过对具体柱体、锥体、台体结构的分析,能探索出用展开的思想方法来研究其侧面积.2.理解柱体、锥体、台体的侧面积和表面积计算公式及其使用范围.3.能运用柱体、锥体、台体的侧面积和表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
基础落实•必备知识全过关
知识点1侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积.名师点睛1.本节讨论的是只有能把侧面剪开后展开在一个平面上的几何体的侧面积问题,并不是所有的几何体都能平铺在一个平面上,比如球.2.一个几何体的表面积是指几何体所有面的面积的和,也可以理解成几何体的侧面积与其底面积的面积之和,也称为全面积.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.()(2)只有侧面是平面的几何体才能求其侧面积.()(3)几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定.()2.将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开,展开图是什么形状?怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积?√×√提示将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开,其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形,侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
知识点2直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
名师点睛1.对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每一个侧面的面积分别计算,然后相加;对于正棱锥和正棱台,其侧面积可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算,因为它们的侧面都是全等的三角形或梯形.2.对于正棱锥和正棱台,其斜高是指其侧面等腰三角形或等腰梯形的高,它与正棱锥、正棱台的高是不同的.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)侧面积公式S棱柱侧=cl(其中c为底面周长,l为棱柱侧棱长)仅适用于正棱柱.()(2)正棱锥侧面积公式S正棱锥侧=ch'中c为底面周长,而h'为正棱锥的高.()××
2.正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为,表面积为.
3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有何联系?提示
知识点3圆柱、圆锥、圆台的侧面积几何体侧面展开图形状展开图度量与几何体度量的关系侧面积公式圆柱矩形的一边长为母线长,另一边长是圆柱底面周长S圆柱侧=2πrlr:底面半径,l:母线长圆锥扇形的半径为母线长,扇形的弧长为圆锥底面周长S圆锥侧=πrlr:底面半径,l:母线长
几何体侧面展开图形状展开图度量与几何体度量的关系侧面积公式圆台扇环的较短的弧长为圆台上底面周长,较长的弧长为圆台下底面周长S圆台侧=π(r+r')l,r',r分别为圆台上、下底面半径,l为母线长
名师点睛1.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形研究,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.2.注意圆柱、圆锥、圆台侧面展开前后的变化点,这是理解公式的推导和公式应用的前提,学习时多通过动手做几何模型体会半径、母线、弧长、高等核心元素,不断强化几何直观的实践锻炼.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.()(2)若圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则一定有S圆锥侧=πrl.()(3)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.()×√√
2.已知矩形的边长分别为1和2,若分别以这两边所在直线为轴旋转,所形成几何体的侧面积之比为()A.1∶2B.1∶1C.1∶4D.1∶3答案B解析以长度为1的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为2,母线长为1,其侧面积S1=2π×2×1=4π.以长度为2的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为1,母线长为2,其侧面积S2=2π×1×2=4π,故S1∶S2=1∶1.
重难探究•能力素养全提升
探究点一直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积与表面积【例1】(1)已知正四棱锥的底面边长为4cm,高与斜高的夹角为30°,则该正四棱锥的侧面积等于cm2.(2)现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积、表面积.答案(1)32如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.
(2)解如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,体对角线A1C=15,B1D=9,∴a2+52=152,b2+52=92,∴a2=200,b2=56.∵该直四棱柱的底面是菱形,
规律方法求多面体的侧面积或表面积的技巧方法(1)对于直棱柱、正棱锥、正棱台,求其侧面积与表面积的关键是求出它们的基本量,如底面边长、高、斜高等,然后套用公式计算.(2)对于一般的棱柱、棱锥、棱台,求其侧面积时,一般是将其每一个侧面的面积分别求出来,然后相加.(3)注意合理运用多面体的特征几何图形,如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长的桥梁,也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁.
变式探究将例1(1)中条件“高与斜高的夹角为30°”改为“侧棱与底面的夹角为45°”,其他条件不变,结论又如何?
变式训练1若正三棱台的侧面均是上、下底边长分别为2和4,腰长为3的等腰梯形,则该正三棱台的表面积等于.
探究点二简单旋转体的侧面积与表面积【例2】(1)若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形,则该圆锥的表面积是()(2)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于()A.72B.42πC.67πD.72π答案(1)D(2)C
规律方法旋转体侧面积和表面积的求解策略(1)简单旋转体的侧面积与表面积计算的关键是熟记公式,灵活套用.要弄清圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中各线段长(弧长)与原几何体有关量的关系.(2)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积,关键是求出它们的底面半径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线长,其中圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
变式训练2(1)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分,则这两部分侧面积之比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶4(2)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以BC边所在直线为轴旋转一周,则形成的几何体的侧面积为.答案(1)C(2)12π
探究点三简单组合体的表面积【例3】如图所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积为.答案24+1.5π解析由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积,再加上圆柱的侧面积.故其表面积S=6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2=24-0.5π+2π=24+1.5π.
规律方法怎样求组合体的表面积(1)求组合体的表面积的基本步骤:①弄清楚它是由哪些简单几何体构成的,组成形式是什么;②根据组合体的组成形式设计计算思路;③根据公式计算求值.(2)求组合体的表面积的解题策略:①对于由简单几何体拼接成的组合体,要注意拼接面重合对组合体表面积的影响;②对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体,要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.
变式训练3有一塔形几何体由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,则该塔形几何体的表面积为.答案36
素养培优易错辨析——因未认清切割前后几何体表面的变化而致误【典例】如图所示,从底面半径为2a,高为a的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥,求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.
规律方法本题中挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积,但同时增加了一个圆锥的侧面的面积,而错解未考虑增加的部分.几何体的表面积是各个面的面积之和,因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱、锥、台的表面积公式,而应先分析该几何体由几部分组成.几何体各个面间有无重叠,再结合相应几何体选择公式求解.
学以致用•随堂检测全达标
1.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为()A.6B.12C.24D.48答案D
2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()答案B解析设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2,∴圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=4π+8π=12π.故选B.
3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.3答案A解析设圆台较小底面的半径为r,则圆台较大底面的半径为3r,圆台的侧面积为π(r+3r)×3=84π,解得r=7.
4.已知长方体的体对角线长为2,长、宽、高的比为3∶2∶1,则它的表面积为.答案88
5.正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,它的高SO=3,求此正三棱锥的侧面积.
解设正三棱锥底面边长为a,斜高为h',如图所示,过O作OE⊥AB,垂足为E,连接SE,则SE⊥AB,且SE=h'.因为S侧=2S底,
本课结束
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