苏教版高中数学必修第二册课件13.3.2 第2课时 球的表面积和体积

第13章第2课时 球的表面积和体积 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.理解球的表面积和体积的计算公式的推导过程.2.会求解组合体的体积与表面积.3.能用公式解决简单的实际问题. 基础落实•必备知识全过关 知识点球的表面积与体积公式注意和锥体的体积公式比较联系4πR2 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.()(2)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.()(3)球的表面积等于它的大圆面积的2倍.()×√× 2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为()A.RB.2RC.3RD.4R答案D解析设圆柱的高为h,则πR2h=3×πR3,得h=4R. 重难探究•能力素养全提升 探究点一球的体积和表面积【例1】(1)一个球的表面积是16π,则它的体积是()(2)一个如图所示的密闭容器,它的下部是一个底面半径为1m、高为2m的圆锥体,上半部是个半球,则这个密闭容器的表面积是多少?体积为多少? 规律方法公式是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件. 变式训练1(1)已知球的表面积为64π,求它的体积;(2)已知球的体积为π,求它的表面积. 探究点二球的截面及切、接问题角度1球的截面问题【例2】一个球内有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积. 解当截面在球心的同侧时,如图①所示为球的轴截面,由球的截面性质知AO1∥BO2,且O1,O2为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.设球的半径为Rcm,∵π·O2B2=49π,∴O2B=7cm.同理,得O1A=20cm.设OO1=xcm,则OO2=(x+9)cm.在Rt△O1OA中,R2=x2+202,①在Rt△OO2B中,R2=72+(x+9)2,②联立①②可得x=15,R=25.∴S球=4πR2=2500π(cm2),故球的表面积为2500πcm2.① 当截面在球心的两侧时,如图②所示为球的轴截面,由球的截面性质知,O1A∥O2B,且O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥O1A,OO2⊥O2B.设球的半径为Rcm,∵π·O2B2=49π,∴O2B=7cm.∵π·O1A2=400π,∴O1A=20cm.设O1O=xcm,则OO2=(9-x)cm.在Rt△OO1A中,R2=x2+400.在Rt△OO2B中,R2=(9-x)2+49.∴x2+400=(9-x)2+49,解得x=-15,不合题意,舍去.综上所述,球的表面积为2500πcm2.② 角度2外接球问题【例3】设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2答案B 角度3内切球问题【例4】如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是. 规律方法1.球的截面问题的方法归纳:设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形.解答球的截面问题时,常用该直角三角形求解,并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求解.2.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略:①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如中心、对角线的中点等.②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题. 变式训练2(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为.(2)在半径为R的球面上有A,B,C三点,且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积. 素养培优思想方法——转化与化归思想在球的接、切问题中的应用【典例】在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.分析过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方体的棱长、球半径的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接长方体求解. 解方法一 方法二将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的体对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a2, 规律方法球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分析解决问题. 学以致用•随堂检测全达标 1.直径为6的球的表面积和体积分别是()A.36π,144πB.36π,36πC.144π,36πD.144π,144π答案B解析球的半径为3,表面积S=4π·32=36π,体积V=π·33=36π. 2.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()答案B 3.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为()A.1B.2C.3D.4答案B 4.若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的倍,表面积变为原来的倍.答案84 本课结束