第13章第1课时 两平面平行
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.3.能够应用平面与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题.4.理解两个平行平面间的距离的概念.
基础落实•必备知识全过关
知识点1平面平行和平面相交的定义1.两个平面互相平行的定义:如果两个平面没有,那么称这两个平面互相平行.2.两个平面相交的定义:如果两个平面有一个,那么由基本事实3可知,它们相交于经过这个点的,此时称这两个平面相交.过关自诊两个平面平行,那么两个平面内的所有直线都相互平行吗?公共点公共点一条直线提示不一定.因为两个平面平行,所以分别在这两个平面内的任意两条直线无公共点,它们平行或异面.
知识点2两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示α∥βα∩β=a图形表示
过关自诊如果空间的三个平面两两相交,则下列判断正确的是.(填序号)①不可能只有两条交线;②必相交于一点;③必相交于一条直线;④必相交于三条平行线.答案①解析空间的三个平面两两相交,可能只有一条交线,也可能有三条交线,这三条交线可能交于一点.
知识点3两个平面平行的判定定理两条相交直线不能改成两条直线文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行符号语言a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β⇒α∥β图形语言
名师点睛定理中,要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字,否则条件不充分,结论不成立.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行.()(2)若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.()(3)若α∥β,β∥γ,则α∥γ.()(4)若a⊂α,α∥β,则a∥β.()×√√√
2.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G
答案A解析如图,∵EG∥E1G1,EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1,∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E,同理可证H1E∥平面E1FG1,又H1E∩EG=E,H1E,EG⊂平面EGH1,∴平面E1FG1∥平面EGH1.其他选项均不平行.
知识点4两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线符号语言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒图形语言平行a∥b
名师点睛1.定理成立的条件:两平面平行,第三个平面与这两个平面都相交.2.定理的实质——面面平行⇒线线平行,体现了转化思想与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.
过关自诊1.已知长方体ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A'B'C'D'=E'F',则EF与E'F'的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定答案A解析由面面平行的性质定理易得.
2.若平面α∥平面β,直线a⊂α,点M∈β,过点M的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线答案D解析由于α∥β,a⊂α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平行,故D项正确.
知识点5公垂线与公垂线段1.与两个平行平面都的直线,叫作这两个平行平面的公垂线,它夹在这两个平行平面间的,叫作这两个平行平面的公垂线段.2.两个平行平面的公垂线段.公垂线段的叫作两个平行平面间的距离.垂直线段都相等长度
过关自诊判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)夹在两平行平面间的平行线段相等.()(2)若平面α∥平面β,l⊂平面β,m⊂平面α,则直线l与m的距离就是平面α∥平面β间的距离.()√×
重难探究•能力素养全提升
探究点一平面与平面平行的判定定理的应用【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点,DC∥AB,求证:平面PAB∥平面EFG.
证明∵E,G分别是PC,BC的中点,∴EG∥PB,又EG⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,∴EG∥平面PAB.∵E,F分别是PC,PD的中点,∴EF∥CD,又AB∥CD,∴EF∥AB,∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB,又EF∩EG=E,EF,EG⊂平面EFG,∴平面EFG∥平面PAB.
规律方法证明两个平面平行的方法证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点不容易做到(可用反证法),所以通常用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:
变式训练1如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.
探究点二平面与平面平行的性质定理的应用【例2】如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
答案(1)证明∵PB∩PD=P,∴直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.(2)解由(1)得AC∥BD,
规律方法1.证明线线平行的方法有四种.(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.(3)线面平行的性质定理:.应用时题目条件中需有线面平行.(4)面面平行的性质定理:.应用时题目条件中需有面面平行或证得两平面平行.
2.空间中的计算问题一般利用有关判定或性质定理将原问题转化为平面几何问题,本例就是利用面面平行的性质定理将三维降成二维,最后利用平面几何中的比例性质解决的,体现了转化与化归数学思想的应用.
变式探究在本例中,若P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长.解如图,∵PB∩PC=P,∴PB,PC确定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.又α∥β,∴AC∥BD,∴△PAC∽△PBD,
探究点三线面平行、面面平行的综合问题【例3】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1,如果存在,请指出并证明你的结论;如果不存在,请说明理由.
解当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.证明如下,如图所示,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,AC1.因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊂平面AB1C1,EF⊄平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.因为EF∩FD=F,EF⊂平面EFD,FD⊂平面EFD,所以平面EFD∥平面AB1C1.因为DE⊂平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.
规律方法1.证明直线与平面平行,除了定义法、判定定理法以外,还可以用两平面平行的性质,也就是说为了证明直线与平面平行,也可以先证明两平面平行,再由两平面平行的性质得到线面平行.2.空间中线线、线面、面面平行关系的转化如下:
变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,A1D1的中点.判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系,并证明你的结论.
解MN∥平面BB1D1D,证明如下,取AD中点E,连接ME,NE,根据题知ME∥BD,ME⊄平面BDD1B1,BD⊂平面BB1D1D,所以ME∥平面BB1D1D.又因为NE∥DD1,同理可证NE∥平面BB1D1D,NE∩EM=E,所以平面EMN∥平面BB1D1D,因为MN⊂平面EMN,故MN∥平面BB1D1D.
素养培优一题多解【典例】已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内,P,Q分别是对角线AE,BD的中点.求证:PQ∥平面CBE.
证明方法一如图①,取AB的中点G,连接PG和GQ.因为P是AE的中点,所以PG∥EB.又PG⊄平面CBE,EB⊂平面CBE,所以PG∥平面CBE.同理可证GQ∥平面CBE.又PG∩GQ=G,PG⊂平面PGQ,GQ⊂平面PGQ,所以平面PGQ∥平面CBE.因为PQ⊂平面PGQ,PQ⊄平面CBE,所以PQ∥平面CBE.方法二如图②,连接AC,则Q∈AC,且Q是AC的中点.因为P是AE的中点,所以PQ∥EC.因为PQ⊄平面CBE,EC⊂平面CBE,所以PQ∥平面CBE.
规律方法线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达的,因此在证明有关问题时,应抓住“转化”这种思想方法来达到论证的目的.
学以致用•随堂检测全达标
1.若P,Q,R分别是三棱锥S-ABC三条侧棱SA,SB,SC的中点,则平面ABC与平面PQR的位置关系是()A.平行B.相交C.重合D.相交或平行答案A解析由三角形中位线的性质知PQ∥AB,PR∥AC,由线面平行的判定定理,PQ⊄平面ABC,PR⊄平面ABC,可得PQ∥平面ABC,PR∥平面ABC,又PQ∩PR=P,根据面面平行的判定定理,可得平面ABC∥平面PQR.
2.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面答案B解析由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.
3.已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b∥a,则α与β的位置关系是.(填“平行”或“相交”)答案平行解析若α∩β=l,则在平面α内,与l相交的直线a,设a∩l=A,对于β内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面,即β内不存在直线b使b∥a.故α∥β.
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M,交BC于N,则=.
5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面A1BD∥平面CD1B1.∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴D1B1∥DB.又DB⊂平面A1BD,D1B1⊄平面A1BD,∴D1B1∥平面A1BD,同理B1C∥平面A1BD,而B1C⊂平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,D1B1∩B1C=B1,∴平面A1BD∥平面CD1B1.
本课结束
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