第13章第1课时 直线与平面平行
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解直线与平面平行的判定定理的含义,并能用图形语言、文字语言、符号语言进行描述.2.理解直线与平面平行的性质定理的含义,并能用图形语言、文字语言、符号语言进行描述.3.能运用直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理证明一些空间中相关的平行问题.
基础落实•必备知识全过关
知识点1直线与平面平行的判定定理此平面内的一条直线平行
名师点睛1.线面平行的判定定理的条件可概括为“面外一条直线,面内一条直线,两直线平行”,该定理的作用是判定或证明直线与平面平行.2.线面平行的判定定理要注意和线面平行的定义区分,定义是从有无公共点的角度描述的,而判定定理是借助线线平行刻画线面平行,将原问题进行了降维处理,两者都能进行线面平行的证明,但大多条件下用判定定理进行线面平行的证明.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若直线l与平面α内的无数条直线不平行,则直线l与平面α不平行.()(2)若直线l与平面α内的无数条直线平行,则直线l与平面α平行.()2.如果直线a与平面α内的一条直线b平行,直线a与平面α一定平行吗?××提示不一定,直线a可能在平面α内.
3.能保证直线a与平面α平行的条件是()A.b⊂α,a∥bB.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cC.b⊂α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BDD.a⊄α,b⊂α,a∥b答案D
知识点2直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与符号语言l∥α,⇒l∥m图形语言平行交线平行l⊂β,α∩β=m
名师点睛正确理解线面平行的性质定理:(1)直线与平面平行的性质定理中有三个条件:①直线l和平面α平行,即l∥α;②平面α,β相交,即α∩β=m;③直线l在平面β内,即l⊂β.这三个条件缺一不可.(2)线面平行的性质定理可以作为证明线线平行的一种方法.(3)在应用线面平行的性质定理时,往往会出现这样的易错点:“l∥α,m⊂α,所以l∥m”,所以在应用时要谨慎.
(4)线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用:先通过线线平行找出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,其关系可用以下关系链表示.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若直线a与平面α不平行,则a与α相交.()(2)若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a∥b.()(3)若直线l不平行于平面α,则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.()×××
2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则()A.MN∥PDB.MN∥PAC.MN∥ADD.以上均有可能答案B解析由于MN∥平面PAD,而平面PAC经过直线MN且与平面PAD相交于直线PA,由线面平行的性质定理得MN∥PA.故选B.
重难探究•能力素养全提升
探究点一直线与平面平行的判定【例1】(1)如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是()A.相交B.b∥αC.b⊂αD.b∥α或b⊂α(2)如图所示,已知直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱AA1的中点,M为线段BD1的中点,求证:MF∥平面ABCD.
答案(1)D由a∥b且a∥α,知b∥α或b⊂α.(2)证法一连接AC,BD交于点O,再连接OM,如图所示,则OM∥D1D,且OM=D1D.∴OM∥AF,且OM=AF,∴四边形MOAF是平行四边形,∴MF∥OA.又OA⊂平面ABCD,MF⊄平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.
证法二如图所示,连接D1F并延长交DA的延长线于点E,连接BE,在△D1DE中,∵AF∥DD1,且AF=DD1,∴F是D1E的中点,∴FM是△BED1的中位线,∴FM∥BE.∵BE⊂平面ABCD,MF⊄平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.
规律方法1.证明线面平行的关键是证明线线平行,通常利用平行四边形、中位线、平行公理等来证明,辅助线要根据题中所给点的位置关系来确定.2.直线与平面平行的判定定理的应用步骤:其中,在平面α内的直线是关键,它要么是已经存在,需要被发现或找到,要么是在图形中还未出现,需要作出.
变式训练如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AB,PC的中点,求证:EF∥平面PAD.
证明如图,取PD的中点G,连接FG,AG.因为PF=CF,PG=DG,所以FG∥CD,且FG=CD.又因为四边形ABCD是平行四边形,且E是AB的中点.所以AE∥CD,且AE=CD.所以FG∥AE,且FG=AE,所以四边形EFGA是平行四边形,所以EF∥AG.又因为EF⊄平面PAD,AG⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD.
探究点二直线与平面平行的性质及其应用【例2】如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.证明因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平面ABC,所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理,可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形.
规律方法1.利用线面平行的性质定理解题的步骤:2.运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
变式探究1
变式探究2若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.解由例2知,四边形MNPQ是平行四边形,∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,∴四边形MNPQ是矩形.∵BP∶PD=1∶1,∴PQ=5,QM=4,∴四边形MNPQ的面积为5×4=20.
探究点三线面平行性质定理与判定定理的综合应用【例3】求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.
解已知:a,l是直线,α,β是平面.a∥α,a∥β,且α∩β=l.求证:a∥l.证明:如图,在平面α内任取一点A,且使A∉l.∵a∥α,∴A∉a.故点A和直线a确定一个平面γ,设γ∩α=m.同理,在平面β内任取一点B,且使B∉l,则点B和直线a确定平面δ,设δ∩β=n.∵a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,∴a∥m.同理a∥n,则m∥n.又m⊄β,n⊂β,∴m∥β.∵m⊂α,α∩β=l,∴m∥l.又a∥m,∴a∥l.
规律方法利用线面平行的判定定理和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化,转化思想是一种重要数学思想.
变式探究若本例中条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,试判断直线l,m,n的位置关系,并说明你的理由.解三条直线l,m,n相互平行.证明如下,如图,∵l∥m,m⊂γ,l⊄γ,∴l∥γ.又l⊂α,α∩γ=n,∴l∥n.又l∥m,∴m∥n,即直线l,m,n相互平行.
素养培优思想方法——平行中的探索存在性问题【典例】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是棱BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?若存在,请指出M点位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
解存在,M为线段AB的中点,证明如下:如图,取线段AB的中点为M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知得,O为AC1的中点,连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,所以MD∥AC且MD=AC,OE∥AC且OE=AC,因此MD∥OE且MD=OE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC,MO⊂平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.
规律方法1.平行中探索存在性问题的判定,多出现在解答题中.证明线面平行的关键是找线线平行,注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系,当题目中有中点时,一般考虑先探索中点,再用中位线定理找平行关系.2.掌握推理的基本形式和规则,探索和表述论证过程,有逻辑地表达与交流是逻辑推理的数学核心素养.
学以致用•随堂检测全达标
1.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如图所示,则BC与α的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.BC⊂α答案A解析在△ABC中,∵AD∶DB=AE∶EC,∴BC∥DE.∵BC⊄α,DE⊂α,∴BC∥α.
2.如图所示,过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1,则BB1与EE1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定答案A解析∵BB1∥CC1,BB1⊄平面CDD1C1,CC1⊂平面CDD1C1,∴BB1∥平面CDD1C1.又BB1⊂平面BEE1B1,平面BEE1B1∩平面CDD1C1=EE1,∴BB1∥EE1.
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是;与BC1平行的平面是;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是.答案平面A1B1C1D1与平面ADD1A1平面ADD1A1DC解析观察题图,根据判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1;与BC1平行的平面是平面ADD1A1;因为平面A1B1C1D1与平面A1B1BA的交线是A1B1,所以与其都平行的棱是DC.
4.下列说法:①如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行;②过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行;③如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行.其中正确的个数为.答案1
5.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH.证明∵四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥GH.∵GH⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,∴AB∥平面EFGH.
本课结束
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