第13章第2课时 两平面垂直
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解二面角及其平面角的概念.2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理,并能解决有关面面垂直的问题.
基础落实•必备知识全过关
知识点1二面角1.一般地,一条直线和由这条直线出发的所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的;每个半平面叫作二面角的.2.画法:两个半平面棱面
3.记法:二面角或二面角.4.二面角的平面角:(1)若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α-l-β的平面角是.(2)二面角α的大小范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫作直二面角.α-AB-βα-l-β∠AOB
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()(2)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.()√√
2.如图,观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.(1)数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角?(2)平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?提示(1)二面角.(2)二面角的平面角.
知识点2平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义一般地,如果两个平面所成的二面角是,那么就说这两个平面互相垂直.直二面角
2.平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的,那么这两个平面垂直符号语言l⊥α,⇒α⊥β图形语言垂线l⊂β
3.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的,那么这条直线与另一个平面符号语言α⊥β,α∩β=l,,⇒a⊥β图形语言交线垂直a⊂αa⊥l
名师点睛1.判定定理可简述为“线面垂直,则面面垂直”.因此要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,即证线面垂直.2.两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据.3.此定理有一个推论:a∥α,a⊥β⇒α⊥β.在做选择、填空题时可直接应用.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知两个平面垂直,则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.()(2)已知两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.()(3)已知两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.()×√×
2.在如图所示的长方体中,AA'与平面ABCD有什么位置关系?AA'在长方体的哪几个面内?这几个面与底面ABCD有什么位置关系?提示AA'与平面ABCD垂直;AA'在平面AA'B'B内,也在平面AA'D'D内,这两个平面都与底面垂直.
3.在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.答案3解析平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.
4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则()A.ME⊥平面ACB.ME⊂平面ACC.ME∥平面ACD.以上都有可能答案A解析由于ME⊂平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,则ME⊥平面AC.
重难探究•能力素养全提升
探究点一二面角的求法【例1】如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,(1)二面角D'-AB-D的大小为.(2)二面角A'-AB-D的大小为.答案(1)45°(2)90°
解析(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥平面AD',所以AB⊥AD',AB⊥AD,因此∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角.在Rt△D'DA中,∠D'AD=45°,所以二面角D'-AB-D的大小为45°.(2)因为AB⊥平面AD',所以AB⊥AD,AB⊥AA',因此∠A'AD为二面角A'-AB-D的平面角,又∠A'AD=90°,所以二面角A'-AB-D的大小为90°.规律方法在二面角棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,两射线夹角即为所求二面角的平面角.
变式训练1如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.
解由已知PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直径,且点C在圆周上,∴AC⊥BC.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,∴PC⊥BC.又BC是二面角P-BC-A的棱,∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形,∴∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.
探究点二平面与平面垂直的判定【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PC⊥平面ABCD,求证:平面PDB⊥平面PAC.证明∵PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.又PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD,∴平面PDB⊥平面PAC.
规律方法证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
变式训练2如图,已知三棱锥S-ABC中,侧棱SA=SB=SC,∠ABC=90°,求证:平面ABC⊥平面ASC.
证明作SH⊥AC交AC于点H,连接BH,∵SA=SC,∴AH=HC.在Rt△ABC中,H是AC的中点,∴BH=AC=AH.又SH=SH,SA=SB,∴△SAH≌△SBH(SSS),∴SH⊥BH.又AC∩BH=H,AC,BH⊂平面ABC,∴SH⊥平面ABC.又SH⊂平面ASC,∴平面ABC⊥平面ASC.
探究点三平面与平面垂直的性质定理【例3】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:BC⊥AB.
证明如图,在平面PAB内,作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,AD⊂平面PAB,∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴AD⊥BC.又PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.又PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,∴BC⊥AB.
规律方法利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.
变式训练3如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,AC⊥BC.求证:AM⊥平面EBC.证明∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,BC⊥AC,∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE,∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形,∴AM⊥CE.又BC∩CE=C,BC,EC⊂平面EBC,∴AM⊥平面EBC.
素养培优思想方法——转化思想在线线、线面、面面垂直中的应用【典例】已知α,β,γ是三个不同的平面,l为直线,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证:l⊥γ.分析根据直线和平面垂直的判定定理,可在平面γ内构造两相交直线分别与平面α,β垂直;或者由面面垂直的性质易在平面α,β内作出平面γ的垂线,再设法证明l与其平行即可.
证明方法一在平面γ内取一点P,作PA垂直平面α与γ的交线于点A,PB垂直β与γ的交线于点B,则PA⊥α,PB⊥β.∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB.又PA∩PB=P,且PA⊂γ,PB⊂γ,∴l⊥γ.
方法二在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线,∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ.∴m∥n.又n⊂β,m⊄β,∴m∥β.又m⊂α,α∩β=l,∴m∥l.∴l⊥γ.
规律方法线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想,其转化关系如下:
学以致用•随堂检测全达标
1.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面()A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在答案C解析由面面垂直的判定定理知,过l的平面都垂直于平面α,这样的平面有无数个.
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β答案C解析∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又m⊂α,∴由面面垂直的判定定理,得α⊥β.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于()答案C
4.在三棱锥A-BCD中,AD⊥BC,AD⊥CD,则有()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ADC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面ADB答案B解析如图,因为AD⊥BC,AD⊥CD,BC∩CD=C,所以AD⊥平面BCD,又AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.故选B.
5.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=.
本课结束
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