第13章13.1.3直观图的斜二测画法
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.掌握斜二测画法的步骤.2.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
基础落实•必备知识全过关
知识点1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤由于选轴的不同,画出的直观图可能不相同45°135°水平面x'轴或y'轴的线段保持原长度不变一半
过关自诊1.下列说法中正确的个数是()①水平放置的角的直观图一定是角;②相等的角在直观图中仍然相等;③相等的线段在直观图中仍然相等;④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行.A.1B.2C.3D.4答案B解析①正确;②错误,如正方形的直观图为平行四边形,角度不一定相等;③错误,因为平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度变为原来的一半;④正确,平行性不会改变.
2.利用斜二测画法画出边长为3的正方形的直观图,正确的是图中的()答案C解析正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为2∶1.
知识点2几何体直观图的画法规则画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,并且使平行于z轴的线段的和都不变.名师点睛画空间几何体的直观图的四个步骤(1)画轴.通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面.根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)画侧棱.利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关侧棱.(4)连线成图.画图完成后,擦除辅助线,看得见的地方用实线,被遮挡的部分用虚线(或不画),就得到了几何体的直观图.平行性长度
过关自诊用斜二测画法画长、宽、高分别为2cm,cm,1cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
画法(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取1cm长的线段AA',BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
重难探究•能力素养全提升
探究点一画水平放置的平面图形的直观图【例1】如图,画出水平放置的等腰梯形的直观图.
画法(1)如图①,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立平面直角坐标系,画对应的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.(2)在图②中,以点O'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'E'=OE,以E'为中点画C'D'∥x'轴,并使C'D'=CD.(3)连接B'C',D'A',并擦去辅助线x'轴和y'轴,所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图(如图③).①
规律方法画水平放置的平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
变式探究把本例图形换成右图,试画出该图的直观图.
画法(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.如图①.(2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取O'B'=AB,在y'轴上取O'D'=AD,过D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.如图②.(3)连接B'C',所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直观图.如图③.
探究点二画空间几何体的直观图【例2】画出底面边长为1.2cm的正方形,侧棱均相等,且高为1.5cm的四棱锥的直观图.
画法(1)画轴.画x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°,如图①所示.(2)画底面.以O'为中点在x'轴上截取线段EF,使EF=1.2cm,在y'轴上截取线段GH,使GH=0.6cm.分别过E,F作y'轴的平行线,过G,H作x'轴的平行线,则交点分别为A,B,C,D,即四边形ABCD为底面正方形的直观图.(3)画高.在z'轴上截取OP,使OP=1.5cm.(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图②所示.
规律方法1.画空间几何体的直观图时,一般是先按照画平面图形直观图的方法与步骤,画出其底面的直观图,再在z轴上确定该几何体的顶点或另一个底面的直观图所需坐标系的原点,从而作出另一个底面的直观图,最后得到整个几何体的直观图.2.对于台体、柱体等有上底面的几何体,在作上底面的直观图时,可先作出高线,在上底面所在的平面内再建一个两轴分别与下底面中的坐标系中的两轴平行的坐标系,最后作出表示相应等量的线段并连接.
变式训练1用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2.画法(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3,在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和点Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面.(3)画上底面.在z轴上取一点O',使OO'=2,以O'为原点画直线a和直线b,使直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO'b内以O'为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A'B'C'D'.
(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②).
探究点三直观图的还原与计算【例3】(1)在如图所示的直观图中,A'B'∥y'轴,B'C'∥A'D'∥x'轴,且B'C'≠A'D',则其对应的平面图形ABCD是()A.任意梯形B.直角梯形C.任意四边形D.平行四边形(2)已知等边三角形ABC的直观图△A'B'C'的面积为,则等边三角形ABC的面积是.
解析(1)由直观图的画法,可知原四边形ABCD为直角梯形.(2)按照斜二测画法的规则,把如图①所示的等边三角形ABC的直观图△A'B'C'还原为如图②所示的等边三角形ABC,
规律方法1.借助水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形,其作法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x'轴的线段的长度不变,而平行于y'轴的线段的长度变为原来的2倍,还原时要抓住关键点和关键线段.2.平面多边形与其直观图面积间关系:一个平面多边形的面积为S原,斜二测画法得到直观图的面积为S直,则有S直=S原.
变式训练2(1)如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6cm,O'C'=2cm,C'D'=2cm,则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形(2)如图是一个四边形的直观图,则其原图形的面积为.
答案(1)C(2)15
素养培优易错辨析——考虑问题不全面致错【典例】已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形,若平行四边形中有一条边长为4,则此正方形的面积是()A.16B.36或64C.16或64D.36答案C错解正方形的边长在直观图中对应边长为4,则原图中正方形的边长为4,故原图形的面积为42=16.故选A.
正解正方形的直观图是一个平行四边形,长度为4的边,可能为水平放置的边,也可能为竖直放置的一边,所以要分情况进行讨论.若正方形的水平放置的边长在直观图中对应边长为4,则原图中正方形的边长为4,故原图形的面积为42=16;若正方形的竖直放置的边长在直观图中对应边长为4,则原图中正方形的边长为8,故原图形的面积为82=64.综上,选C.规律方法解决此类问题的关键在于准确把握斜二测画法规则,另外要注意边所在位置对直观图的影响,如果没有指明边所在的位置,就需要对其进行分类讨论.
学以致用•随堂检测全达标
1.(多选题)关于斜二测画法所得直观图,以下说法不正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形答案ACD解析由于直角在直观图中有的成为45°,有的成为135°;当线段与x轴平行时,在直观图中长度不变且仍与x轴平行,因此只有B正确,故选ACD.
2.下面每个选项中的2个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()答案C解析可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.
3.水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A'C'=2,B'C'=,则边AB上的中线的实际长度为.
4.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中分离出来的几何图形.(1)∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°,这种说法对吗?(2)∠A1C1D的真实度数是60°,这种说法对吗?
解(1)四边形D1C1CD是正方形,∴∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°,正确.(2)连接A1D,∴△A1C1D是正三角形.∴∠A1C1D=60°.∴∠A1C1D的真实度数是60°.正确.
5.画出如图所示的Rt△ABC(∠CAB为直角)的直观图.
画法(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示).(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示).
本课结束
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