第13章13.1.1棱柱、棱锥和棱台
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
基础落实•必备知识全过关
知识点1棱柱、棱锥、棱台的结构特征多面体定义图形及表示相关概念分类特点棱柱一般地,由一个平面多边形沿某一方向________形成的空间图形叫作棱柱如图可记作:棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'底面:平移起止位置的两个面.侧面:多边形的边平移所形成的面.侧棱:相邻侧面的___________.顶点:侧面与底面的公共顶点底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……①两个底面是___________的多边形,且对应边互相___________;②侧面都是平行四边形平移公共边全等平行
多面体定义图形及表示相关概念分类特点棱锥当棱柱的一个底面收缩为_______时,得到的空间图形叫作棱锥如图可记作:棱锥S-ABCD底面:多边形.侧面:有一个公共顶点的三角形.必须是有一个公共顶点的三角形,否则不一定是棱锥侧棱:相邻侧面的___________.顶点:由棱柱的一个底面收缩而成按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……①底面是多边形;②侧面是有一个公共顶点的_______一个点公共边三角形
多面体定义图形及表示相关概念分类特点棱台用一个_______________的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分叫作棱台如图可记作:棱台ABCD-A'B'C'D'上底面:原棱锥的______.下底面:原棱锥的底面.侧面:其余各面.侧棱:相邻侧面的公共边.顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……①上下底面平行,对应边成比例;②侧棱延长后交于一点平行于棱截面锥底面
名师点睛1.棱柱的结构特征包括两个方面:一是面,二是棱.棱柱的面共有两种:第一种是底面,上、下共两个底面而且是平行且全等的;第二种是侧面,几棱柱就有几个侧面,相邻侧面的公共边即侧棱都是平行的.它的棱也有两种,一种是侧棱,另一种就是底面上的边.2.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥,反例如右图所示.
3.(1)棱台上、下底面互相平行,且是两个相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高的比的平方.(2)棱台的侧面均为梯形.(3)棱台各侧棱延长线交于一点,棱台问题可还原为棱锥问题解决.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)棱柱的底面互相平行.()(2)棱柱的各个侧面都是平行四边形.()(3)长方体是四棱柱.()√√√
2.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案D解析根据棱柱的定义进行判断知,这4个图都满足.
3.下列说法中正确的是()A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形答案A解析棱柱的两底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故B错;立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它的侧棱就不是棱柱的高了,故C错;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错.
4.把棱台的各侧棱延长,交于一点吗?提示因为棱台是由棱锥截得的,所以棱台中各侧棱延长后必相交于一点,否则不是棱台.
知识点2多面体类别定义图示多面体由若干个围成的空间图形平面多边形顶点面
过关自诊面数最少的多面体是什么?提示围成一个多面体至少要四个面,所以面数最少的多面体是四面体,如三棱锥就是四面体.
重难探究•能力素养全提升
探究点一棱柱的结构特征【例1】下列说法正确的是()A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形答案D解析选项A,B都不正确,反例如图所示.选项C也不正确,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.
规律方法棱柱结构特征的辨析方法(1)扣定义:判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是平行四边形;②看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.(2)举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合,给予排除.
变式训练1下列说法中,正确的是()A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形答案D
解析A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点;对于B选项,反例如图①所示;选项C中,反例如图②,底面ABCD可以是平行四边形;D选项说明了棱柱的特点,故选D.
探究点二棱锥、棱台的结构特征【例2】(1)下列三种叙述,正确的有()①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A.0个B.1个C.2个D.3个(2)下列说法中,正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形;②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;③棱锥的侧棱平行.A.①B.①②C.②D.③
答案(1)A(2)B解析(1)①中的平面不一定平行于棱锥底面,故①错误;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.故选A.(2)由棱锥的定义,知棱锥的各侧面都是三角形,故①正确;四面体就是由四个三角形所围成的几何体,因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故②正确;棱锥的侧棱交于一点,故③错误.
规律方法判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义,举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法:技巧棱锥棱台定底面只有一个面是多边形,此面即为底面两个互相平行的面,即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点
变式训练2下列关于棱锥、棱台的说法:①棱台的侧面一定不会是平行四边形;②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是.答案①②
解析①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;②正确,由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;③错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
探究点三多面体表面距离最短问题【例3】如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
解将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,∴AA1=4,∴△AEF周长的最小值为4.
规律方法本题是多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解.
变式训练3如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周,求此绳在A,B之间的最短绳长.
解作出三棱锥的侧面展开图,如图.A,B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之间最短的绳长为5.
素养培优几何体的平面展开图【典例】(1)请画出如图所示的正方体的平面展开图.(2)如图是两个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体?
解(1)展开图如图所示.(答案不唯一)
(2)根据平面展开图,可知①为五棱柱,②为三棱台.
规律方法1.绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.2.由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个平面展开图.
学以致用•随堂检测全达标
1.有两个面平行的多面体不可能是()A.棱柱B.棱锥C.棱台D.以上都不正确答案B解析因为棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥.
2.有一个多面体,由五个面围成,只有一个面不是三角形,则这个空间图形为()A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥答案B解析根据棱锥的定义可知该空间图形是四棱锥.
3.三棱柱的平面展开图是()答案B
4.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为cm.答案12解析棱柱有10个顶点,则该棱柱为五棱柱,共有5条侧棱,且侧棱长都相等,故侧棱长为=12(cm).
本课结束
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