苏教版高中数学必修第二册课件9.3.1 平面向量基本定理

第9章9.3.1平面向量基本定理 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.理解基底的定义,并能判断两个向量能否构成一组基底.2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量. 基础落实•必备知识全过关 知识点1平面向量基本定理要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量条件e1,e2是同一平面内两个不共线的向量结论对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=基底两个的向量e1,e2叫作这个平面的一组基底λ1e1+λ2e2不共线 名师点睛对平面向量基本定理的理解(1)基底具备两个主要特征:①基底是由两个不共线的向量构成的;②基底的选择是不唯一的.(2)基底e1,e2确定后,平面内任一向量a的分解式是唯一的,特别地,当a1e1+a2e2=0时,恒有a1=a2=0.(3)用向量解决几何问题时,可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.()(2)零向量可以作为基底.()(3)若a,b共线,则a+b与a-b一定不可以作为一组基底.()××√ 2.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则以下各组向量不能作为基底的是()A.2e1,e2B.e1+e2,3e1+3e2C.e1,5e2D.e1,e1+e2答案B解析因为3e1+3e2=3(e1+e2),所以两向量共线,不可作为基底. 3.若e1,e2是一个平面内的一组基底,则集合{a|a=λ1e1+λ2e2,λ1,λ2∈R}表示的是什么?提示集合表示的是这个平面内的所有向量,其中当λ1=0时,a与e2共线;当λ2=0时,a与e1共线;当λ1=λ2=0时,a为零向量. 知识点2向量的正交分解由平面向量基本定理知,平面内任一向量a可以用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式.我们称λ1e1+λ2e2为向量a的分解.基底确定,任一向量的分解式是唯一的当e1,e2所在直线时,这种分解也称为向量a的正交分解.互相垂直 过关自诊答案A 2.若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d是否成立?提示当e1,e2共线时,a=c,b=d不一定成立;当e1,e2不共线时,a=c,b=d一定成立. 重难探究•能力素养全提升 探究点一对平面向量基本定理的理解【例1】给出下列说法:①若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2表示;②若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;③若向量e1,e2是一组基底,则e1+e2与e1-e2也可以作为一组基底.其中正确说法的序号是. 答案③解析①错误.零向量也可以用一组基底来表示.②错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以.③正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,可以作为基底. 规律方法平面向量基本定理的四个要点(1)不共线的向量e1,e2;(2)平面内的任一向量a;(3)存在唯一一对实数λ1,λ2;(4)a=λ1e1+λ2e2. 变式训练1A.①②B.①③C.①④D.③④答案B 探究点二用基底表示向量 规律方法用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示待求向量. 探究点三平面向量基本定理的综合应用角度1用平面向量基本定理求解平面几何问题【例3】如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在边AC上, 规律方法若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组. 角度2利用平面向量基本定理求参数 答案C 规律方法1.利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性,对某一向量用基底表示两次,然后利用系数相等列方程(组)求解,即对于基底e1,e2,若a=xe1+ye2,且a=me1+ne2(x,y,m,n∈R),则有2.充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位,往往可使问题更便于解决. 答案C 素养培优巧用直线的向量参数方程式解题 答案C 学以致用•随堂检测全达标 答案A A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0答案A 3.已知λ1>0,λ2>0,e1,e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1,a与e2.(填“共线”或“不共线”)答案不共线不共线 4.已知e1,e2不共线,且a=ke1-e2,b=e2-e1,若a,b不能作为基底,则实数k等于.答案1 本课结束