苏教版高中数学必修第二册课件15.2 第1课时古典概型

第15章第1课时 古典概型 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.掌握概率的两个基本性质.2.结合具体实例理解古典概型.3.能计算古典概型中简单随机事件的概率. 基础落实•必备知识全过关 知识点1概率的基本性质一般地,概率有如下基本性质:性质1:对任意的事件A,都有;性质2:必然事件Ω的概率为1,不可能事件⌀的概率为0,即P(Ω)=,P(⌀)=.过关自诊可以从哪些角度研究概率的性质?0≤P(A)≤110提示概率的取值范围;特殊事件的概率;事件有某些特殊关系时,它们的概率之间的关系. 知识点2古典概型如果某概率模型具有以下两个特点:(1)样本空间Ω只含有有限个样本点.有限性和等可能性缺一不可(2)每个基本事件的发生都是等可能的.有限性和等可能性缺一不可我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型. 名师点睛1.由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.2.在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这些基本事件为等可能基本事件. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)古典概型是一种计算概率的重要模型.()(2)任何事件都可以作为基本事件.()(3)古典概型有两个重要条件:①基本事件是有限的.②每个基本事件的发生是等可能的.()√×√ 2.若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个,则该试验是古典概型吗?提示不一定是,还要看每个样本点发生的可能性是否相同,若相同才是,否则不是.3.掷一枚不均匀的骰子,求出现点数为偶数点的概率,这个概率模型是古典概型吗?提示不是.因为骰子不均匀,所以每个样本点出现的可能性不相等. 知识点3古典概型的概率公式在古典概型中,如果样本空间Ω={w1,w2,…,wn}(其中,n为样本点的个数),那么每一个基本事件{wk}(k=1,2,…,n)发生的概率都是.如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成,即A中包含m个样本点,那么事件A发生的概率为P(A)=. 名师点睛求解古典概型问题的一般思路(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率. 过关自诊1.袋中装有红、白球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,所有的样本点个数是.答案8解析从装有红、白两球的袋中有放回的取出,样本空间Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(红,白,白),(白,红,红),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)},共8个样本点. 2.从1,2,3中任取两个数字,设取出的数字含有2为事件A,则P(A)=. 重难探究•能力素养全提升 探究点一古典概型的判断【例1】袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型,该模型是不是古典概型?(2)若按球的颜色为样本点,有多少个样本点?以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型?解(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型. (2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3个样本点,分别记为A为“摸到白球”,B为“摸到黑球”,C为“摸到红球”. 规律方法1.一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.2.并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:(1)样本点个数有限,但非等可能.(2)样本点个数无限,但等可能.(3)样本点个数无限,也不等可能. 变式训练1下列问题中是古典概型的是()A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率B.掷一颗质地不均匀的骰子,求出现1点的概率C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率D.同时掷两颗骰子,求向上的点数之和是5的概率答案D解析AB两项中的样本点的发生不是等可能的;C项中样本点的个数是无数多个;D项中样本点的发生是等可能的,且是有限个. 探究点二古典概型的概率计算【例2】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 解(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,则样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共15个.记所选两个国家都是亚洲国家的事件为A,A={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共3个,(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,则样本空间Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3)}.记“包括A1但不包括B1”的事件为B,B={(A1,B2),(A1,B3)},则所求事件的概率为 规律方法求古典概型概率的基本步骤(1)先判断是否为古典概型;(2)确定样本点的总数n;(3)确定事件A包含的样本点个数m;(4)计算事件A的概率,即P(A)=. 变式训练2从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率:(1)事件A={三个数字中不含1和5};(2)事件B={三个数字中含1或5}.解这个试验样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}.(1)因为事件A={(2,3,4)},所以P(A)=.(2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},所以P(B)=. 探究点三“放回”与“不放回”问题【例3】从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少? 解(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个样本点组成,这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件A由4个样本点组成,所以(2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的样本空间Ω1={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},共9个样本点.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件B由4个样本点组成,所以P(B)= 规律方法1.关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误.2.关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点,解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的. 变式训练3某校有A,B两个学生食堂,若a,b,c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则三人在同一个食堂用餐的概率为.解析a,b,c三名学生选择食堂所组成的样本空间Ω={(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(A,B,B),(B,A,A),(B,A,B),(B,B,A),(B,B,B)},“三人在同一食堂用餐”记为事件C,C={(A,A,A),(B,B,B)},所以P(C)=. 探究点四古典概型与其他统计知识的交汇问题【例4】某校从高一年级某次数学竞赛的成绩中随机抽取100名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计后得到频率直方图如图所示.(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1).(2)年级决定在成绩[70,100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组,对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查,则在[70,80),[80,90),[90,100]这三组分别抽取了多少人?(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正、副2个小组长,求成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率. 成绩在[50,70)内的频率为(0.005+0.035)×10=0.4,成绩在[70,80)内的频率为0.03×10=0.3,(2)成绩为[70,80),[80,90),[90,100]这三组的频率分别为0.3,0.2,0.1,∴[70,80),[80,90),[90,100]这三组抽取的人数分别为3,2,1. (3)由(2)知成绩在[70,80)有3人,分别记为a,b,c;成绩在[80,90)有2人,分别记为d,e;成绩在[90,100]有1人,记为f.用x1,x2表示从[70,80),[80,90),[90,100]这三组中抽取的2人,则数组(x1,x2)表示这个试验的一个样本点.∴设A=“从抽取的6人中选出正、副2个小组长”,则A={(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(a,d),(d,a),(a,e),(e,a),(a,f),(f,a),(b,c),(c,b),(b,d),(d,b),(b,e),(e,b),(b,f),(f,b),(c,d),(d,c),(c,e),(e,c),(c,f),(f,c),(d,e),(e,d),(d,f),(f,d),(e,f),(f,e)}.记“成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q,则事件Q包含的样本点有18个,∴成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率 变式训练4从某校高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(单位:cm,被测学生的身高全部在155cm到195cm之间),将测量结果按如下方式分成8组,即第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],绘制成的频率直方图如图所示.若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名,记他们的身高分别为x,y,则|x-y|≤5的概率为() 答案A解析由频率直方图,可知身高在[180,185)的人数为0.016×5×50=4,分别记为a,b,c,d;身高在[190,195)的人数为0.008×5×50=2,分别记为A,B.设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点,M=“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”,若x,y∈[180,185),则M={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共6种情况;若x,y∈[190,195],则M={AB},共1种情况;若x∈[180,185),y∈[190,195]或x∈[190,195],y∈[180,185),则M={(a,A),(b,A),(c,A),(d,A),(a,B),(b,B),(c,B),(d,B)},共8种情况.所以样本点的总数为6+1+8=15,而事件“|x-y|≤5”所包含的样本点数为6+1=7, 素养培优思想方法——分类讨论思想的应用 解析记八卦分别为1,2,3,4,5,6,7,8,则从八卦中任取两卦,可能情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8),共28种取法.若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线,可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算:当有一卦阳、阴线的根数为3,0时,另一卦阳、阴线的根数为0,3,共有1种取法. 当有一卦阳、阴线的根数为2,1时,另一卦阳、阴线的根数为1,2,共有3×3=9(种)取法.所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9=10(种).则从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为 学以致用•随堂检测全达标 1.5张卡片上分别写有数字0,1,2,3,4,从中任意抽取一张,抽到的卡片上的数字为奇数的概率是()答案C解析在5张卡片中任意抽取一张有5种不同取法,取到卡片上的数字为奇数的有2种不同取法,根据古典概型计算概率的方法得抽到的卡片上的数字为奇数的概率是.故选C. 2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是()答案C解析样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)}.记“甲站在中间”的事件为A,A={(乙,甲,丙),(丙,甲,乙)},所以甲站在中间的概率 3.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事.“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为()答案A 解析设齐王的上,中,下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别记为A,B,C,x1表示从齐王的马匹中抽取的一匹马,x2表示从田忌的马匹中抽取的一匹马,则数组(x1,x2)表示这个试验的一个样本点,设A=“从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛”,B=“田忌获胜”,则A={(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a),(C,b),(C,c)},根据题意,其中B={(A,b),(A,c),(B,c)},则田忌获胜的概率为.故选A. 4.将一枚骰子先后投掷两次,两次向上点数之和为5的倍数的概率为.解析将一枚骰子投掷两次,样本点个数为36,且每个样本点出现的可能性相等,其中“将一枚骰子投掷两次,两次向上点数之和为5的倍数”所包含的样本点有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(5,5),(6,4),(4,6),共7个,故“将一枚骰子先后投掷两次,两次向上点数之和为5的倍数”的概率为 5.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,则其和为5的概率是.答案0.2解析记“两数之和等于5”为事件A,A={(1,4),(2,3)},样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},且每个样本点出现的可能性相等,所以 本课结束