第15章第2课时 频率与概率
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.能借助具体掷硬币的试验来理解频率fn(A)与概率P(A)的关系.2.会利用fn(A)近似地求解一些事件的概率P(A).
基础落实•必备知识全过关
知识点1频率的稳定性(频率是概率的估计值,概率是频率的稳定值)一般地,对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定,我们将频率的这个性质称为频率的稳定性.稳定不是确定,但在P(A)附近摆动频率
名师点睛对于频率与概率的区别和联系的剖析(1)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率可能会不同.比如,全班每个人都做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可能是不同的.(2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.比如,若一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是0.5,与做多少次试验无关.(3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的.()(2)小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件.()××2.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系?提示随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生.
3.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”,对预测的正确理解是()A.本市明天肯定有90%的地区降雨B.本市明天将有90%的时间降雨C.明天出行不带雨具肯定会淋雨D.明天出行不带雨具可能会淋雨答案D
知识点2概率与频率的关系若随机事件A在n次试验中发生了m次,则当试验次数n很大时,可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率,即该公式要注意和古典概型计算公式进行区分,古典概型计算公式为
过关自诊对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下表所示:抽查件数50100200300500合格件数4792192285478根据表中所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品,大约需抽查件产品.答案1000解析由表中数据知,产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956,可见频率在0.95附近摆动,故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约调查n件产品,则≈0.95,所以n≈1000.
重难探究•能力素养全提升
探究点一对概率的正确理解【例1】下列说法正确的是()A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
答案D解析一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确.
规律方法概率意义上的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,单独一次试验结果的不确定性与大量重复试验积累结果的有规律性,才是概率意义上的“可能性”.事件A的概率是事件A的本质属性.
变式训练1试解释下面情况中概率的意义:(1)某商场为促进销售,举办有奖销售活动,凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20;(2)一生产厂家称,我们厂生产的产品合格的概率是0.98.解(1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%;(2)是说该厂生产的产品合格的可能性是98%.
探究点二频率与概率的关系及求法【例2】下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表:抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品频率(1)计算各组优等品频率,填入上表;(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.解(1)根据优等品频率=,可得优等品的频率从左到右依次为:0.9,0.92,0.97,0.94,0.954,0.951.(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近,故估计优等品的概率是0.95.
规律方法1.(1)根据频率的计算公式求出频率值;(2)用频率的稳定值作为概率的近似值.2.注意事项:试验次数n不能太小,只有当n很大时,频率才会出现规律性,即在某个常数附近摆动,并且这个常数就是概率.
变式训练2某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率(1)填写表中击中靶心的频率;(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?解(1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于频率稳定在常数0.9附近,所以这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.9.
探究点三频率的稳定性在实际生活中的应用【例3】某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示:分组频数频率[700,900)48[900,1100)121[1100,1300)208[1300,1500)223[1500,1700)193[1700,1900)165[1900,+∞)42(1)将各组的频率填入表中;(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1500小时的概率.
解(1)利用频率的定义可得:[700,900)的频率是0.048;[900,1100)的频率是0.121;[1100,1300)的频率是0.208;[1300,1500)的频率是0.223;[1500,1700)的频率是0.193;[1700,1900)的频率是0.165;[1900,+∞)的频率是0.042.所以频率从上到下依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中使用寿命不足1500小时的灯管的频率是0.048+0.121+0.208+0.223=0.6,所以估计灯管使用寿命不足1500小时的概率是0.6.
规律方法由于概率体现了随机事件发生的可能性,所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生,从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时,可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
变式训练3假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示:甲品牌乙品牌
(1)估计甲品牌产品寿命小于200h的概率;(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200h,试估计该产品是甲品牌的概率.
素养培优概念辨析和数据分析1.对频率与概率关系问题的多方位辨析【典例1】某同学掷一枚硬币10次,共有7次反面向上,于是他指出:“掷一枚硬币,出现反面向上的概率应为0.7.”你认为他的结论正确吗?为什么?解不正确,掷一枚硬币10次,有7次反面向上,就此得出“反面向上”的概率为0.7,显然是对概率的统计性定义的曲解.因为概率是随机事件的本质属性,不随试验次数的改变而改变,用频率的稳定值估计概率时,要求试验的次数足够多.
规律方法1.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率恰是其规律性在数量上的反映.概率是客观存在的,它与试验次数、哪一个具体的试验都没有关系,概率是一种可能性,往往通过频率估算一个随机事件发生的可能性,可以看作频率理论上的期望值,因此,可以用频率的趋向近似值来表示随机事件发生的概率.2.概率定义中用频率的近似值刻画概率,要求试验次数足够多,即只有“在相同条件下,随着试验次数的增加,随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定”时,才用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小,即称为这一事件发生的概率的近似值.
2.概率中的数据分析问题【典例2】袋子中有四张卡片,分别写有“学”“习”“强”“国”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A,用随机模拟的方法估计事件A发生的概率,利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“学”“习”“强”“国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:232321210023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计事件A发生的概率为()
答案C解析18组随机数中,利用列举法求出事件A发生的随机数有210,021,001,130,031,103,共6个,估计事件A发生的概率为.故选C.
学以致用•随堂检测全达标
1.下列结论正确的是()A.事件A的概率P(A)的值满足0
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