第15章15.1随机事件与样本空间
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.结合具体实例,理解样本点和样本空间的含义.2.理解随机事件与样本点的关系.3.理解随机事件的并交含义.
基础落实•必备知识全过关
知识点1随机事件与样本空间1.确定性现象和随机现象(1)确定性现象:在一定条件下,事先就能断定或某种结果,这种现象就是确定性现象.(2)随机现象:在一定条件下,某种结果发生,也不发生,事先断定出现哪种结果,这种现象就是随机现象.2.样本空间和样本点随机试验的每一个可能结果称为样本点,用ω表示;所有组成的称为样本空间,用Ω表示.发生不发生可能可能不能样本点集合
3.随机事件、必然事件、不可能事件样本空间的称为随机事件,简称事件.事件一般用A,B,C等大写英文字母表示.当一个事件仅包含时,称该事件为基本事件.显然,是必然事件,是不可能事件.名师点睛样本点与样本空间的关系可联想元素与集合的关系来理解记忆.注意:试验不同,对应的样本空间也不同;同一试验,若试验的目的不同,则对应的样本空间也不同.子集单一样本点Ω(全集)⌀(空集)
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)事件“长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形”是不可能事件.()(2)事件“长度为2,3,4的三条线段可以构成一直角三角形”是必然事件.()(3)事件“方程x2+2x+3=0有两个不相等的实根”是必然事件.()(4)事件“函数y=logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数”是随机事件.()×××√
2.一个盒子中装有8个完全相同的球,分别标有号码1,2,3,…,8,从中任取一个球,写出样本空间:.3.必然事件与不可能事件具有随机性吗?Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}提示必然事件与不可能事件不具有随机性.为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.
知识点2事件的运算事件定义符号图示子事件事件B发生必导致事件A发生B⊆A并事件“至少有一个发生”包括三种情况:A发生,B不发生;A不发生,B发生;A,B都发生“事件A与B至少有一个发生即为事件C发生”.这时,我们称C是A与B的并,也称C是A与B的和C=A+B或C=A∪B
事件定义符号图示交事件“即为事件C发生”.这时,我们称C是A与B的交,也称C是A与B的积C=AB或C=A∩B事件A与B同时发生
过关自诊同时抛掷两枚硬币,两枚都是正面向上为事件M,至少有一枚是正面向上为事件N,则有()A.M⊆NB.M⊇NC.M=ND.M∩N=⌀答案A解析M={(正,正)},N={(正,正),(正,反),(反,正)},故M⊆N.
重难探究•能力素养全提升
探究点一事件类型的判断【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:(1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元;(2)三角形的内角和为180°;(3)没有空气和水,人类可以生存下去;(4)同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面向上;(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张,抽到1号标签;(6)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.
解(1)购买一注彩票,可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件.(2)所有三角形的内角和均为180°,所以是必然事件.(3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存,所以是不可能事件.(4)同时抛掷两枚硬币一次,不一定都是正面向上,所以是随机事件.(5)任意抽取,可能得到1,2,3,4号标签中的任一张,所以是随机事件.(6)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件.
规律方法判断一个事件是哪类事件的方法判断一个事件是哪类事件要看两点:一看条件;二看结果.
探究点二求样本空间【例2】某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).(1)写出这个试验的样本空间;(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.解(1)当x=1时,y=2,3,4;当x=2时,y=1,3,4;当x=3时,y=1,2,4;当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的样本空间是Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
规律方法随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清某一随机事件的结果,首先必须明确事件发生的条件.在写试验结果时,要按照一定的顺序采用列举法写出,注意不能重复也不能遗漏.
变式探究1若将本例中的条件改为有放回地取两个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,看清编号后放回盒子摇匀,再取一个小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).试写出这个试验的样本空间.解当x=1时,y可取1,2,3,4.同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有4个.所以这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
变式探究2若将本例中的条件改为无放回地取三个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,最后取的小球的标号为z,这样构成有序实数对(x,y,z).试写出这个试验的样本空间.
解当x=1时,y可取2,3,4.若y=2,则z可取3,4;若y=3,则z可取2,4;若y=4,则z可取2,3.同理,x=2,3,4时,分别对应的不同的试验结果也有6个.所以,这个试验的样本空间是Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4),(1,4,2),(1,4,3),(2,1,3),(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,3),(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,2),(3,4,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,2),(4,3,1)}.
探究点三事件的运算【例3】盒子里有6个红球、4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.求:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?解(1)对于事件D,可能的结果为:1个红球,2个白球或2个红球,1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球,2个白球或2个红球,1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.
规律方法事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
变式探究在本例中,设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与B,E是什么运算关系?C与F的交事件是什么?解由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球、2个红球1个白球、3个红球三种情况,故B⊆C,E⊆C,而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球、2个白球1个红球、3个白球,所以C∩F={1个红球2个白球,2个红球1个白球}=D.
学以致用•随堂检测全达标
1.下列事件:①连续两次抛掷同一骰子,两次都出现2点;②走到十字路口,遇到绿灯;③异性电荷相互吸引;④某同学在操场上掷一石块,石块下落.其中是必然事件的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析由必然事件的概念可知③④是必然事件.
2.集合A={2,3},B={1,2,4},从A,B中各任意取一个数,构成一个两位数,则所有样本点的个数为()A.8B.9C.12D.11答案D解析从A,B中各任意取一个数,可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43,共11个样本点.
3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件M={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},则事件M的含义是.答案抛掷一枚质地均匀的骰子两次,向上点数之和为8
4.抛掷3枚硬币,试验的样本点用(x,y,z)表示,集合M表示“既有正面朝上,也有反面朝上”,则M=.答案{(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)}解析试验的样本空间为Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},则M={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)}.
5.先后两次掷一个均匀的骰子,观察朝上的面的点数.(1)写出对应的样本空间;(2)用集合表示事件A:点数之和为3,事件B:点数之和不超过4.解(1)用(1,2)表示第一次掷出1点,第二次掷出2点,其他的样本点用类似的方法表示,则可知所有样本点均可表示成(i,j)的形式,其中i,j都是1,2,3,4,5,6中的数.因此,样本空间Ω={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i∈N,j∈N}.(2)不难看出A={(1,2),(2,1)},B={(1,3),(2,2),(3,1),(1,2),(2,1),(1,1)}.
本课结束
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