第14章14.4.2用样本估计总体的离散程度参数
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解标准差、方差公式的基本性质.2.通过具体实际问题不断体会集中趋势、离散程度是如何刻画的,以及它们之间的内在联系.
基础落实•必备知识全过关
知识点1极差一组数据的值与值的差称为极差.名师点睛极差的意义:极差较大,数据点较分散;极差小,数据点较集中.最大最小
过关自诊在五场篮球比赛中,甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示.下列说法正确的是()A.甲得分的中位数和极差都比乙大B.甲得分的中位数比乙小,但极差比乙大C.甲得分的中位数和极差都比乙小D.甲得分的中位数比乙大,但极差比乙小答案B解析由茎叶图,得甲的中位数是10,极差为39-1=38,乙的中位数是23,极差为30-11=19,所以B正确.故选B.
知识点2方差和标准差一组数据x1,x2,…,xn的方差和标准差(1)一般地,设一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数为,则称s2=____________为这个样本的方差,其算术平方根s=为样本的标准差,分别简称样本方差、样本标准差.(2)一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为p1,p2,…,pn,则其方差为.p1+p2+p3+…+pn=1
(3)分层抽样数据的方差
名师点睛1.样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均数周围的程度,标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平均数的周围越分散.2.若样本数据都相等,则s=0.3.当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程度,就由标准差来衡量.4.数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感;方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.
5.标准差的大小不会超过极差.6.方差、标准差、极差的取值范围为[0,+∞).当标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.7.因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般采用标准差.8.在实际问题中,总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样,通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中,样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.
过关自诊1.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有()A.s3>s1>s2B.s2>s1>s3C.s1>s2>s3D.s3>s2>s1
答案D解析所给图是成绩分布图,平均分是75,在图甲中,集中在75分附近的数据最多,图丙中从50分到100分均匀分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,图乙介于两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1.
2.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数分别为7,8,7,9,5,4,9,10,7,4,则:(1)平均命中环数为;(2)命中环数的标准差为.答案(1)7(2)2
3.甲班和乙班各有学生20人、40人,甲班的数学成绩的平均分为80,方差为2,乙班的数学成绩的平均分为82,方差为4,那么甲班和乙班这60人的数学提示不是,因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的.
重难探究•能力素养全提升
探究点一标准差、方差的计算与应用【例1】从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测它们的株高如下(单位:cm):甲:25414037221419392142乙:27164427441640401640问:(1)哪种玉米苗长得高?(2)哪种玉米苗长得齐?
规律方法用样本的标准差、方差估计总体的方法用样本估计总体时,样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.
变式训练1某班40名学生平均分成两组,两组学生某次考试成绩情况如下所示:组别平均数标准差第一组904第二组806求全班这次考试成绩的平均数和标准差.
探究点二分层抽样的方差【例2】甲、乙两支田径队的体检结果为:甲队体重的平均数为60kg,方差为200;乙队体重的平均数为70kg,方差为300.又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少?
规律方法计算分层抽样的方差s2的步骤:
变式训练2已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米,方差为20,二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米,1.8万元/平方米,0.8万元/平方米,三、四线城市房价的方差分别为10,8,则二线城市房价的方差为.答案118.52
探究点三方差、标准差与统计图表的综合应用【例3】甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.(1)分别求出两人得分的平均数与方差;(2)根据图形和(1)中计算结果,对两人的训练成绩作出评价.
解(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲:10,13,12,14,16;乙:13,14,12,12,14.
从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.规律方法折线统计图中数字特征的求解技巧根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关,但一般情况下,整体分布位置较高的平均数大,数据波动性小的方差小.
变式训练3为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率直方图(如图所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为.(用“>”连接)甲乙
丙
答案s1>s2>s3解析根据频率直方图知,甲的数据绝大部分都处在两端,离平均值较远,表现的最分散,标准差最大;乙的数据分布均匀,不如甲组中偏离平均值大,标准差比甲的小;丙的数据大部分都在平均值左右,数据表现的最集中,方差最小,故s1>s2>s3.
素养培优1.找齐法在计算平均数时,如果这些数字都在某个数字左右摆动,就选取一个数字作为标准进行找齐.
【典例1】计算数据87,86,90,82,83,85,88,80,79,90的平均数和方差.分析这组数据都在85左右摆动,把每个数字都减去85后进行计算.
规律方法找齐法的依据是平均数方差其中a为选取作为标准的数字,在使用找齐法时a的选取可以多种多样,原则是便于计算.
2.方差的简化公式法
【典例2】计算数据54,55,53,56,57,58的方差.(保留两位小数)分析可以根据简化公式进行计算,也可以把每个数据减去一个数,用找齐法计算.
规律方法方差反映的是数据组偏离平均值的程度,因此把数据组中的每一个数据都加上或者都减去一个相同的数不影响方差的大小.当我们计算的数据较大时,这个方法能有效地简化运算.
学以致用•随堂检测全达标
1.若10个正数的平方和是370,方差是33,则平均数为()A.1B.2C.3D.4答案B
2.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本的方差为()答案D
3.甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如下表所示,则选择决赛的最佳人选应是()射击手甲乙丙丁7887s26.36.378.7A.甲B.乙C.丙D.丁答案B
答案C
5.某高校组织党史知识竞赛,根据小明、小刚5次预赛成绩绘制成统计图.下面有四个推断:①小明、小刚5次成绩的平均数相同②与小刚相比,小明5次成绩的极差大③与小刚相比,小明5次成绩的方差小④与小明相比,小刚的成绩比较稳定其中,所有合理推断的序号是.答案①③
姓名平均数极差方差小明94910小刚941219.6因此①正确;②不正确;③正确;④小明的方差较小,其成绩比较稳定,因此④不正确.所以正确的有①③.
本课结束
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