第14章14.4.3用频率直方图估计总体分布14.4.4百分位数
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.结合实例,能用频率直方图估计总体分布.2.能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.
基础落实•必备知识全过关
知识点1用频率直方图估计总体分布(1)利用频率直方图求数字特征:①众数是最高的矩形的底边的中点值.②中位数左右两侧直方图的面积相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致.直方图能粗略估计众数、中位数和平均数
名师点睛1.平均数是频率直方图的“重心”,是直方图的平衡点,因此,每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和即为平均数的估计值.2.根据中位数的意义,在样本中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
3.一般来说,对一个单峰的频率直方图来说,如果直方图的形状是对称的(图①),那么平均数和中位数应该大体上差不多;如果直方图在右边“拖尾”(图②),那么平均数大于中位数;如果直方图在左边“拖尾”(图③),那么平均数小于中位数.也就是说,和中位数相比,平均数总是在“长尾巴”那边.
过关自诊1.频率直方图的组数对数据分析有何影响?提示当组数少、组距大时,容易从中看出数据整体的分布特点,但由于无法看出每组内的数据分布情况,损失了较多的原始数据信息;当组数多、组距小时,保留了较多的原始数据信息,但由于小长方形较多,有时图形会变得非常不规则,不容易看出总体数据的分布特点.
2.某地区对当地3000位居民本年所得年收入情况进行调查统计,年收入的频率直方图如图所示,数据(单位:千元)的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则年收入不超过6万元的居民大约有()A.900位B.600位C.300位D.150位
答案A解析由频率直方图得,年收入不超过6万元的居民的频率为(0.005+0.010)×20=0.3,所以年收入不超过6万元的居民大约有0.3×3000=900(位).
知识点2p百分位数1.定义:一般地,一组数据的k百分位数是这样一个值pk,它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk,且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk.如果将样本数据从小到大排列成一行,那么k百分位数pk所处位置如图所示.
2.计算一组n个数据的大样本的k百分位数的步骤第1步将所有数值按从小到大的顺序排列;
名师点睛1.50百分位数就是中位数,中位数是百分位数的特例,百分位数是中位数的推广.2.我们也把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若一组样本数据各不相等,则其75百分位数大于25百分位数.()(2)若一组样本数据的10百分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于23.()(3)若一组样本数据的24百分位数是24,则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.()√×√
2.高一某班10名学生的英语口语测试成绩(单位:分)如下:76,90,84,82,81,87,86,82,85,83.这组数据的75百分位数是()A.85B.86C.85.5D.86.5答案B解析从小到大的顺序排列数据为76,81,82,82,83,84,85,86,87,90,因为10×75%=7.5,所以这组数据的75百分位数是第八个数据86.
重难探究•能力素养全提升
探究点一用频率直方图估计总体分布【例1】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率直方图如图所示.(1)估计这次测试数学成绩的众数;(2)估计这次测试数学成绩的中位数(保留一位小数);(3)估计这次测试数学成绩的平均数.
解(1)由题干图知众数为=75,则这80名学生的数学成绩的众数约为75.(2)由题干图知,设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为0.4,第四个矩形面积为0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数位于第四个矩形内,设为x,得0.1=0.03×(x-70),所以x≈73.3,即这80名学生的数学成绩的中位数约为73.3.
规律方法在频率直方图中,我们无法知道每个组内的数据是如何分布的,此时,通常假设它们在组内均匀分布,这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计,进而估计总体的平均数、中位数和众数.
变式训练1从高一抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图的频率直方图.由于一些数据丢失,试利用频率直方图估计:(1)这50名学生成绩的众数与中位数(保留一位小数);(2)这50名学生的平均成绩.
解(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在频率直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求,所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值,故在频率直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等,即频率也相等,从而就使中位数左右两边的小矩形的面积和相等,因为0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3,所以前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5,所以中位数约位于第四个小矩形内.设其底边为x,高为0.03,所以令0.03x=0.2,得x≈6.7,故中位数约为70+6.7=76.7.
(2)样本平均值应是频率直方图的“重心”,即所有数据的平均值,取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可.所以平均成绩为45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+75×(0.03×10)+85×(0.024×10)+95×(0.016×10)=73.65(分).
探究点二百分位数的计算【例2】从某珍珠公司生产的产品中,任意抽取12颗珍珠,得到它们的质量(单位:g)如下:7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分别求出这组数据的25,50,95百分位数;(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量;(3)若用25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等级的划分标准.
解(1)将所有数据从小到大排列,得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,因为共有12个数据,所以12×25%=3,12×50%=6,12×95%=11.4,95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据,所以12×15%=1.8,则15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个,它们的质量分别为7.8g,7.9g.(3)由(1)可知样本数据的25百分位数是8.15g,50百分位数为8.5g,95百分位数是9.9g,所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品,质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品,质量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠为优等品,质量大于9.9g的珍珠为特优品.
规律方法计算一组n个数据的p百分位数的一般步骤(1)排列:按照从小到大排列原始数据.(2)算i:计算i=n×p%.(3)定数:若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p百分位数为第j项数据;若i是整数,则p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
变式训练2如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位:℃)的情况绘制的折线统计图,由图可知这10天最低气温的80百分位数是()A.-2B.0C.1D.2
答案D解析由折线图可知,这10天的最低气温按照从小到大的排列为-3,-2,-1,-1,0,0,1,2,2,2,因为共有10个数据,所以10×80%=8,是整数,则这10天最低气温的80百分位数是
探究点三由频率直方图求百分位数【例3】某市为了鼓励居民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.
(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式.(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中,今年1月份用电费用低于260元的占80%,求a,b的值.(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75百分位数.
解(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;当200400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x-400)=x-140.所以y与x之间的函数解析式为
(2)由(1)可知,当y=260时,x=400,即用电量低于400千瓦时的占80%,结合频率直方图可知解得a=0.0015,b=0.0020.(3)设75百分位数为m,因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001+0.002+0.003)×100=60%,用电量低于400千瓦时的占80%,所以75百分位数m在[300,400)内,所以0.6+(m-300)×0.002=0.75,解得m=375,即用电量的75百分位数为375千瓦时.
规律方法由频率直方图求百分位数的常用方法(1)要注意频率直方图中小矩形的面积,就是数据落在该组的频率.(2)一般采用方程的思想,设出p百分位数,根据其意义列出方程并求解.
变式训练3某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(90分及以上为认知程度高),现从参赛者中抽取了x人,按年龄分成5组(第一组[20,25),第二组[25,30),第三组[30,35),第四组[35,40),第五组[40,45]),得到如图所示的频率直方图,已知第一组有5人.(1)求x.(2)求抽取的x人的年龄的50百分位数.(结果保留整数)(3)以下是参赛的10人的成绩:90,96,97,95,92,92,98,88,96,99.求这10人成绩的20百分位数和平均数.以这两个数据为依据,评价参赛人员对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想.
素养培优数据分析——百分位数的统计含义【典例】一家保险公司决定对推销员实行月标管理,按以往月销售额(单位:千元)把推销员分为甲、乙、丙三个层次,各层次人数如下:层次甲乙丙月销售额[20,25][15,20)[10,15)人数150250100(1)为了了解推销员对目标设定的意见,决定从甲、乙、丙三个层次中采取比例分配的分层抽样抽取30人进行座谈,请计算甲、乙、丙三个层次各应抽取多少人?
(2)确定的销售目标是否合适,直接影响到公司的经济效益:如果目标定得过高,多数推销员完不成任务,会使推销员失去信心;如果目标定得太低,将不利于挖掘推销员的工作潜力.现已知按上面的方法抽取了部分推销员的月销售额(单位:千元):14.215.817.719.222.418.216.421.815.624.623.219.812.813.516.311.513.614.915.716.217.017.217.818.018.420.521.522.124.024.8公司为了使75%的推销员能够完成销售目标,根据这组样本数据,应将销售目标定为多少?
(2)将30个数据按照从小到大的顺序进行排序,可得:11.5,12.8,13.5,13.6,14.2,14.9,15.6,15.7,15.8,16.2,16.3,16.4,17.0,17.2,17.7,17.8,18.0,18.2,18.4,19.2,19.8,20.5,21.5,21.8,22.1,22.4,23.2,24.0,24.6,24.8,为使得75%的销售员完成目标,则没有完成目标的员工占25%,只需求出25百分位数即可.由30×25%=7.5,可知样本数据的25百分位数为第8项数据,即为15.7.所以应该将销售目标定为15700元比较合理.
规律方法1.百分位数是用于衡量数据位置的量度,但它所衡量的,不一定是中心位置.百分位数提供了有关各数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息.对于无大量重复的数据,p百分位数将它分为两个部分.大约有p%的数据项的值比p百分位数小;而大约有(100-p)%的数据项的值比p百分位数大.对p百分位数,严格的定义如下:p百分位数是这样一个值,它使得至少有p%的数据项小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据项大于或等于这个值.2.百分位数是统计学术语,百分位数用于描述一组数据某一百分位置的水平,多个百分位数结合应用,可全面描述一组观察值的分布特征,比如在医学上常应用百分位数进行数据分析和诊断;但应用百分位数时,样本含量要足够大,否则不宜取太靠近两端的百分位数.
学以致用•随堂检测全达标
1.下列一组数据的25百分位数是()2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A.3.2B.3.0C.4.4D.2.5答案A解析把该组数据按照由小到大排列,可得2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,由25×=2.5,不是整数,则第3个数据3.2是25百分位数.
2.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30百分位数为()A.8.4B.8.5C.8.6D.8.3答案A
3.某城市在创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随机抽取一个容量为100的样本,发现数据均在[40,100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示观察图形,则下列说法错误的是()A.频率直方图中第三组的频数为15人B.根据频率直方图估计样本的众数为75分C.根据频率直方图估计样本的中位数为75分D.根据频率直方图估计样本的平均数为75分
答案D解析分数在[60,70)内的频率为1-10×(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)=0.15,所以第三组[60,70)的频数为100×0.15=15(人),故A正确;因为众数的估计值是频率直方图中最高矩形的中点,从图中可看出众数的估计值为75分,故B正确;因为(0.005+0.015+0.015)×10=0.350.5,所以中位数为70+×10=75,故C正确;样本平均数的估计值为45×(10×0.005)+55×(10×0.015)+65×(10×0.015)+75×(10×0.03)+85×(10×0.025)+95×(10×0.01)=73.5(分),故D错误.
4.一组样本数据的频率直方图如图所示,试估计此样本数据的50百分位数为.解析样本数据低于10的比例为(0.08+0.02)×4=0.40,样本数据低于14的比例为0.40+0.09×4=0.76,所以此样本数据的50百分位数在[10,14)内,估计此样本数据的50百分位数为
本课结束
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