2022-2023学年上学期广州市初中数学九年级期末典型试卷1

2022-2023学年上学期广州市初中数学九年级期末典型试卷1一．选择题（共10小题）1．（2020秋•南沙区期末）下列图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（  ）A．等边三角形B．平行四边形C．正六边形D．正五角星2．（2020秋•海珠区期末）某市经济发展势头进一步向好，2020年第一季度该地区生产总值约为5229亿元，第三季度生产总值约为6508亿元，设二，三季度平均每季度增长率为x，依题意列出方程正确的是（  ）A．5229（1+x）＝6508B．5229（1﹣x）＝6508C．5229（1+x）2＝6508D．6508（1﹣x）2＝52293．（2020秋•花都区期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+5，若P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是该二次函数图象上的两点，且y1＞y2，则实数n的取值范围为（  ）A．n＜﹣1B．n＜0C．n＜1D．n＜24．（2020秋•白云区期末）在下列各点中，抛物线y＝3x2经过点（  ）A．（0，﹣1）B．（0，0）C．（0，1）D．（0，2）5．（2020秋•白云区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：①abc＜0；②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2；③a+b+c＜0；④对于任意实数m，均有am2+bm+c≥﹣4a．其中正确的结论的个数是（  ）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2020秋•海珠区期末）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O半径为（  ） A．6B．5C．4D．37．（2020秋•海珠区期末）把抛物线y＝﹣4x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（  ）A．y＝﹣4（x+2）2﹣3B．y＝﹣4（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣4（x﹣3）2+2D．y＝﹣4（x﹣3）2﹣28．（2020秋•海珠区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的是（  ）A．a＜0B．4a+2b+c＞0C．c＞0D．当x＝1时，函数有最小值9．（2020秋•海珠区期末）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（  ）A．B．C．D．510．（2020秋•南沙区期末）如图，从一块直径是4m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的高是（  ）A．3mB．mC．mD．m二．填空题（共6小题）11．（2020秋•海珠区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝  ． 12．（2020秋•南沙区期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2021的值为  ．13．（2021•越秀区校级二模）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a﹣b＝0；②2c＝3b；③当a＜0时，无论m取何值都有a﹣b≥am2+bm；④若a＜0时，抛物线交y轴于点C，且△ABC是等腰三角形，c＝或；⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点E（x1，y1）、F（x2，y2）且x1＜x2，x1+x2＞﹣2，则y1＞y2；则其中正确的是  ．（填写所有正确结论的序号）14．（2020秋•海珠区期末）若抛物线y＝2x2﹣3x+c与直线y＝x+1没有交点，则c的取值范围是  ．15．（2020秋•南沙区期末）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共50个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在20%和30%，则箱子里蓝色球的个数很可能是  ．16．（2020秋•花都区期末）如图，将一个半径OA＝4cm，圆心角∠AOB＝60°的扇形绕点B顺时针旋转得到扇形A′O′B，若OA∥O′B，则半径OA的中点P运动的路径长为  cm．三．解答题（共9小题）17．（2020秋•白云区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，1），B（5，2），C（5，5）．（1）将△ABC绕点O旋转180°后，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点B经过的路径长（结果保留π）． 18．（2020秋•白云区期末）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数）中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值：x…﹣2﹣1012…y＝ax2+bx+c…m03n3…（1）根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向  ，对称轴为  ；（2）求|m﹣n|的值．19．（2020秋•海珠区期末）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k且经过点A（﹣1，0）、B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出不等式a（x﹣1）2+k≥3的解集．20．（2020秋•海珠区期末）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣2，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为（5，1）．（1）若抛物线C1过点A，求抛物线解析式；（2）若抛物线C1与线段OA有交点，求a的取值范围；（3）把抛物线C1沿直线OA方向平移|t|个单位（规定：射线OA方向为正方向）得到抛物线C2，若对于抛物线C2，当﹣2≤x≤3时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．21．（2020秋•花都区期末）已知抛物线y＝ax2﹣3ax+经过点A（5，0），且与y轴交于点B，点E在该抛物线的对称轴上运动．（1）求抛物线的对称轴； （2）若△ABE是以AB为直角边的直角三角形，求点E的坐标；（3）若点P（m，n）是抛物线上的一个动点，当点E运动到x轴上时，连接EP，经过探究发现，随着n的变化，EP2与n之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并求出EP2的最小值．22．（2020秋•南沙区期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝x+3相交于点A和点B，点A在x轴上，点B在y轴上．抛物线的顶点为P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m的值；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得S△ABQ＝2S△ABP，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．23．（2020秋•海珠区期末）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每降低1元，每周可多卖出20件．（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价为多少元？（2）销售单价应为多少元，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？24．（2020秋•海珠区期末）如图，在⊙O中，弦AB的长为6，∠AOB＝60°，⊙O上一动点C从点B出发以每秒个单位沿圆周逆时针运动，运动时间为t（秒）（0≤t≤16），点B关于AC的对称点为B'，射线CB'与⊙O另一交点为D．（1）直接写出⊙O的半径长；（2）当四边形ABCD的面积为时，求t值；（3）当点C运动到12秒时停止，在点C运动的过程中求△BCD的内心M所经过的路径长． 25．（2020秋•南沙区期末）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上且AB＝AC．（1）如图1，点D为直径BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连接DE、BE，试探索线段BD，CD，DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D为⊙O外一点且∠ADB＝45°，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）若点D为⊙O上一点且∠ADB＝45°，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论． 2022-2023学年上学期广州市初中数学九年级期末典型试卷1参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2020秋•南沙区期末）下列图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（  ）A．等边三角形B．平行四边形C．正六边形D．正五角星【考点】轴对称图形；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；C、正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；D、正五角星是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（2020秋•海珠区期末）某市经济发展势头进一步向好，2020年第一季度该地区生产总值约为5229亿元，第三季度生产总值约为6508亿元，设二，三季度平均每季度增长率为x，依题意列出方程正确的是（  ）A．5229（1+x）＝6508B．5229（1﹣x）＝6508C．5229（1+x）2＝6508D．6508（1﹣x）2＝5229【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【分析】根据该市2020年第一季度及第三季度生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：5229（1+x）2＝6508．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2020秋•花都区期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+5，若P（n，y1），Q（n﹣2，y2 ）是该二次函数图象上的两点，且y1＞y2，则实数n的取值范围为（  ）A．n＜﹣1B．n＜0C．n＜1D．n＜2【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】将n，n﹣2代入二次函数解析式即可得出n的取值范围．【解答】解：∵P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是函数y＝﹣x2+2x+5的图象上的两点，且y1＞y2，∴﹣n2+2n+5＞﹣（n﹣2）2+2（n﹣2）+5，化简整理得，4n﹣8＜0，∴n＜2，∴实数n的取值范围是n＜2，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出不等式是解题的关键．4．（2020秋•白云区期末）在下列各点中，抛物线y＝3x2经过点（  ）A．（0，﹣1）B．（0，0）C．（0，1）D．（0，2）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】计算出自变量为0所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；所以抛物线y＝3x2经过点（0，0）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．5．（2020秋•白云区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：①abc＜0；②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2；③a+b+c＜0；④对于任意实数m，均有am2+bm+c≥﹣4a．其中正确的结论的个数是（  ） A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据开口方向确定a的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据对称轴确定b的符号，判断①；利用二次函数的性质判断②；利用图象得出与x轴的另一交点，进而得出a+b+c＝0，即可判断③，根据函数增减性，判断④．【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，故①正确；∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（2，y1），又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，2＜3，∴y1＜y2，故②错误；∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，故③错误；∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，b＝2a，∴c＝﹣3a，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，∴am2+bm+c≥a﹣b+c（m为任意实数）， ∴am2+bm+c≥﹣4a，故④正确，故结论正确有2个．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．重点把握抛物线的对称性．6．（2020秋•海珠区期末）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O半径为（  ）A．6B．5C．4D．3【考点】勾股定理；垂径定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】连接OA，由题意得：OC⊥AB于C，OC＝3，再由垂径定理得AC＝BC＝AB＝4，然后由勾股定理求出OA的长即可．【解答】解：连接OA，如图：由题意得：OC⊥AB于C，OC＝3，AB＝8，∴AC＝BC＝AB＝4，∴OA＝＝＝5，即⊙O半径为5，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．7．（2020秋•海珠区期末）把抛物线y＝﹣4x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（  ）A．y＝﹣4（x+2）2﹣3B．y＝﹣4（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣4（x﹣3）2+2D．y＝﹣4（x﹣3）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：把抛物线y＝﹣4x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为：y＝﹣4（x+2）2﹣3．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．8．（2020秋•海珠区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的是（  ）A．a＜0B．4a+2b+c＞0C．c＞0D．当x＝1时，函数有最小值【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】利用抛物线开口方向可对A选项进行判断；利用函数图象得到x＝2时，y＜0，则可对B选项进行判断；利用抛物线与y轴的交点位置可对C选项错误；根据抛物线的对称性得到对称轴，然后根据二次函数的性质可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，所以A选项错误；∵x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，所以B选项错误；∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，所以C选项错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，函数有最小值，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9．（2020秋•海珠区期末）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（  ）A．B．C．D．5【考点】切线的性质．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】连接OF，如图，利用切线长定理和切线的性质得∠OBC＝∠ABC，∠BCO＝∠BCD，OF⊥BC，再利用平行线的性质得到∠OBC+∠BCO＝90°，则可利用勾股定理计算出BC＝5，然后利用面积法计算出OF．【解答】解：连接OF，如图，∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，∴BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，OF⊥BC，∴∠OBC＝∠ABC，∠BCO＝∠BCD，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBC+∠BCO＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∵∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵OF•BC＝OB•OC，∴OF＝＝．故选：B． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和平行线的性质．10．（2020秋•南沙区期末）如图，从一块直径是4m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的高是（  ）A．3mB．mC．mD．m【考点】展开图折叠成几何体；圆锥的计算．【专题】与圆有关的计算；应用意识．【分析】连接OA，OC，BC，过点O作OH⊥AC于H．想办法求出圆锥的母线，底面圆半径即可解决问题．【解答】解：连接OA，OC，BC，过点O作OH⊥AC于H．∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵O是△ABC的外心，∴∠OAH＝∠ABC＝30°，∵OH⊥AC，∴∠OHA＝90°，AH＝CH＝OA•cos30°＝（m）， ∴AB＝AC＝2AH＝2（m），∴圆锥底面圆的周长＝＝π（m），∴圆锥底面圆的半径为（m），∴圆锥的高＝＝（m）．故选：C．【点评】本题考查圆锥的计算，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二．填空题（共6小题）11．（2020秋•海珠区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝ 4 ．【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝4，故答案为4．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．12．（2020秋•南沙区期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2021的值为 2024 ．【考点】一元二次方程的解．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴原式＝3（2m2﹣3m）+2021＝2024．故答案为：2024．【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．13．（2021•越秀区校级二模）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a﹣ b＝0；②2c＝3b；③当a＜0时，无论m取何值都有a﹣b≥am2+bm；④若a＜0时，抛物线交y轴于点C，且△ABC是等腰三角形，c＝或；⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点E（x1，y1）、F（x2，y2）且x1＜x2，x1+x2＞﹣2，则y1＞y2；则其中正确的是 ①③④⑤ ．（填写所有正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；等腰三角形的性质．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），可知二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，可得2a与b的关系，可判断①；根据对称轴公式，将B点代入可得c、b的关系，即可判断②；函数开口向下，x＝1时取得最大值，可判断③；由图象知BC＝AB＝4时，当AC＝AB＝4时，两种情况利用勾股定理即可求得c的值，可以判断④；根据抛物线图象上点的坐标特征即可判断⑤．【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）．∴二次函数的对称轴为x＝＝﹣1，即﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0．故①正确；②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）．∴9a﹣3b+c＝0，a+b+c＝0，又∵b＝2a．∴b+c＝0，∴2c＝﹣3b．故②错误；③∵a＜0，∴抛物线开口向下．∴x＝1时，二次函数有最大值．∴a+b+c≥am2+bm+c．即a+b≥am2+bm．故③正确； ④由图象可得，AC≠BC．当BC＝AB＝4时，则12+c2＝42，解得c＝，当AC＝AB＝4时，则32+c2＝42，解得c＝故△ABC是等腰三角形时，c＝或，故④正确；⑤由题意可知，点E（x1，y1）到对称轴的距离小于点F（x2，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2，故⑤正确；故答案为①③④⑤．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．14．（2020秋•海珠区期末）若抛物线y＝2x2﹣3x+c与直线y＝x+1没有交点，则c的取值范围是 c＞3 ．【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；模型思想；应用意识．【分析】根据两个函数的图象没有交点，则两个函数关系式组成方程组无解，从而得出答案．【解答】解：因为抛物线y＝2x2﹣3x+c与直线y＝x+1没有交点，所以一元二次方程2x2﹣3x+c＝x+1没有实数根，即2x2﹣4x+c﹣1＝0无实数根，所以16﹣8（c﹣1）＜0，解得，c＞3，故答案为：c＞3． 【点评】本题考查二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，理解两个函数图象没有公共点的意义是解决问题的关键．15．（2020秋•南沙区期末）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共50个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在20%和30%，则箱子里蓝色球的个数很可能是 25 ．【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为20%和30%，则摸到蓝球的概率为50%，然后根据概率公式可计算出箱子中蓝色球的个数．【解答】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为20%和30%，所以摸到蓝球的概率为50%，因为50×50%＝25（个），所以可估计箱子中蓝色球的个数为25个．故答案为25．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．16．（2020秋•花都区期末）如图，将一个半径OA＝4cm，圆心角∠AOB＝60°的扇形绕点B顺时针旋转得到扇形A′O′B，若OA∥O′B，则半径OA的中点P运动的路径长为 π cm．【考点】平行线的判定与性质；轨迹；旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；应用意识．【分析】证明△AOB是等边三角形，求出BP，∠PBP′，利用弧长公式求解即可．【解答】解：连接PB，AB． ∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∵OP＝PA，∴∠APB＝∠OPB＝30°，PB⊥OA，∴PB＝OB•cos30°＝2（cm），∵OA∥BO′，∴∠OAB＝∠ABO′，∴∠PBP′＝30°+60°+30°＝120°，∴半径OA的中点P运动的路径长为＝π（cm）．故答案为：π．【点评】本题考查轨迹，弧长公式，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三．解答题（共9小题）17．（2020秋•白云区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，1），B（5，2），C（5，5）．（1）将△ABC绕点O旋转180°后，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点B经过的路径长（结果保留π）． 【考点】轨迹；作图﹣旋转变换．【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．【分析】（1）根据旋转的性质即可将△ABC绕点O旋转180°后，得到△A1B1C1；（2）根据弧长公式即可求出点B经过的路径长．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）∵OB＝＝，∴点B经过的路径长为π．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轨迹，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 18．（2020秋•白云区期末）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数）中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值：x…﹣2﹣1012…y＝ax2+bx+c…m03n3…（1）根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向 下 ，对称轴为 直线x＝1 ；（2）求|m﹣n|的值．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【分析】（1）观察表格中的数据，得到x＝0和x＝2时，y值相等都为3，且x＝﹣1时，y＝0，可得出抛物线开口方向及对称轴；（2）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可．【解答】解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1；故答案为：下，直线x＝1；（2）把（﹣1，0），（0，3），（2，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝﹣2时，m＝﹣4﹣4+3＝﹣5；当x＝1时，n＝﹣1+2+3＝4；∴|m﹣n|＝|﹣5﹣4|＝9．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．19．（2020秋•海珠区期末）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k且经过点A（﹣1，0）、B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出不等式a（x﹣1）2+k≥3的解集．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式即可求解； （2）画出抛物线大致的图象，过点B作直线m交抛物线于点D，则点D的坐标为（2，3），即可求解．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）画出抛物线大致的图象如下，过点B作直线m交抛物线于点D，由抛物线的表达式知，函数的对称轴为x＝1，则点D的坐标为（2，3），则不等式a（x﹣1）2+k≥3的解集为0≤x≤2．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．20．（2020秋•海珠区期末）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣2，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为（5，1）．（1）若抛物线C1过点A，求抛物线解析式；（2）若抛物线C1与线段OA有交点，求a的取值范围；（3）把抛物线C1沿直线OA方向平移|t|个单位（规定：射线OA方向为正方向）得到抛物线C2，若对于抛物线C2，当﹣2≤x≤3时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；二次函数的应用；空间观念；应用意识．【分析】（1）把A点坐标代入解析式求出a的值即可；（2）首先求出b＝﹣1，再根据直线与抛物线有两个交点求得a的取值范围即可；【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣2过点A，点A坐标为（5，1），∴1＝25a﹣10a﹣2，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2， 故答案为：y＝x2﹣x﹣2；（2）抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣a﹣2，∴抛物线的对称轴是：直线x＝1，顶点为（1，﹣a﹣2），∵点A坐标为（5，1），∴线段OA为y＝x（0≤x≤5），抛物线C1与线段OA有交点分两种情况：①若a＞0，如答图1，由（1）知y＝ax2﹣2ax﹣2点A（5，1）时，a＝，由图可知当抛物线开口变小，则抛物线与线段OA总有交点，而a＞0时，a越大抛物线开口越小，故a≥，②若a＜0，如答图2，由有解，即ax2﹣（2a+）x﹣2＝0有解得：[﹣（2a+）]2﹣4a×（﹣2）≥0，解得a或a≤，∴≤a＜0或a≤，而≤a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2与直线y＝x交点不在线段OA，∴a≤， 综上所述，抛物线C1与线段OA有交点，a≥或a≤，故答案为：a≥或a≤．（3）∵A（5，1），∴抛物线C1沿直线OA方向平移|t|个单位相当于水平移动了|t|个单位再竖直方向移动了|t|个单位，∴抛物线C2的对称轴为x＝1+t，当﹣2≤x≤3时，y随x的增大而增大，分两种情况：①a＞0时，抛物线C2的对称轴为直线x＝﹣2或在直线x＝﹣2左侧，∴1+t≤﹣2得t≤﹣，②a＜0时，抛物线C2的对称轴为直线x＝3或在直线x＝3右侧，∴1+t≥3得t≥，故答案为：a＞0时t≤﹣，a＜0时t≥．【点评】本题考查二次函数解析式、图象及其平移，抓住顶点、对称轴的位置及变化是解题关键，难度较大．21．（2020秋•花都区期末）已知抛物线y＝ax2﹣3ax+经过点A（5，0），且与y轴交于点B，点E在该抛物线的对称轴上运动． （1）求抛物线的对称轴；（2）若△ABE是以AB为直角边的直角三角形，求点E的坐标；（3）若点P（m，n）是抛物线上的一个动点，当点E运动到x轴上时，连接EP，经过探究发现，随着n的变化，EP2与n之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并求出EP2的最小值．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【分析】（1）根据对称轴x＝﹣计算即可．（2）直线直线AB的解析式，可得N（，），推出BN＝，AN＝，分两种情形利用相似三角形的性质，求出EN，NE′可得结论．（3）根据二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）抛物线的对称轴x＝﹣＝（2）∵抛物线y＝ax2﹣3ax+经过点A（5，0），∴25a﹣15a+＝0，∴a＝﹣，如图1中，设抛物线的对称轴交AB于N，交x轴于T．∵A（5，0），B（0，），∴OB＝，OA＝5，∴AB＝＝＝，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∵对称轴x＝，∴N（，），∴BN＝＝，∴AN＝AB﹣BN＝，∵EN∥OB，∴∠ENB＝∠ABO， ∵∠EBN＝∠AOB＝90°，∴△EBN∽△AOB，∴＝，∴＝，∴EN＝，ET＝TN+EN＝，∴E（，），当∠NAE′＝90°时，同法可得E′N＝，ET＝7，∴E′（，﹣7）．综上所述，满足条件的点E的坐标为（，）或（，﹣7）．（3）如图2中，∵P（m，n），E（，0），∴PE2＝（m﹣）2+n2＝m2﹣3m++n2，∵n＝﹣m2+m+，∴m2﹣3m＝10﹣4n，∴PE2＝10﹣4n++n2＝（n﹣2）2+，∴PE2的最小值为．PE2＝n2﹣4n+． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．22．（2020秋•南沙区期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝x+3相交于点A和点B，点A在x轴上，点B在y轴上．抛物线的顶点为P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m的值；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得S△ABQ＝2S△ABP，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；应用意识．【分析】（1）直线y＝x+3中，分别令x＝0和y＝0可得点A和B的坐标，将点A和B的坐标分别代入抛物线的解析式中列方程组，解出即可； （2）由图象可知，当抛物线经过点B或点A时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点，求得平移后的解析式，代入A、B的坐标，即可求得m的值；（3）先计算△ABP的面积，根据S△ABQ＝2S△ABP，可得△ABQ的面积，分两种情况：点Q在对称轴的左侧和右侧，根据面积公式列方程可得结论．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），当y＝0时，x+3＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），把A（﹣3，0）和B（0，3）代入二次函数y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），将抛物线向右平移m个单位，P对应点为（﹣1+m，4），∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣m）2+4，把B（0，3）代入得，3＝﹣（1﹣m）2+4，解得m1＝2，m2＝0（舍去），把A（﹣3，0）代入得0＝﹣（﹣2﹣m）2+4，解得m3＝﹣4，m4＝0（舍去），故m的值为2或﹣4；（3）∵S△ABP＝S△APD+S梯形PDOB﹣S△AOB＝+×（3+4）×1﹣＝3，∴S△ABQ＝2S△ABP＝6，设点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），分两种情况：①如图1，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE∥y轴交直线AB于E， ∴S△ABQ＝（a+3+a2+2a﹣3）（﹣a+3+a）＝6，解得：a1＝﹣4，a2＝1（舍），∴Q（﹣4，﹣5）；②如图2，当Q在对称的右侧，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QE∥y轴交直线AB于E，同理可得a＝1，∴Q（1，0），综上，点Q的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与几何变换，第二问明确当抛物线只经过点B或点A时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点是解题的关键．23．（2020秋•海珠区期末）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每降低1元，每周可多卖出20件．（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价为多少元？（2）销售单价应为多少元，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【专题】销售问题；一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力；应用意识．【分析】（1）设销售单价为x元,则每件附中的利润为(x﹣50)元，每周能卖出(×20+200)件，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于x的方程，求解并作出取舍即可．（2）设该店铺每周销售利润为W元，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出W关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解:（1）设销售单价为x元,由题意得:(x﹣50)×(×20+200)＝7500,整理得：﹣x2+140x﹣4875＝0,解得:x1＝65,x2＝75,∵尽可能让利于顾客,∴x2＝75不符合题意,∴x＝65．∴销售单价为65元．（2）设该店铺每周销售利润为W元，由题意得:W＝(x﹣50)×(×20+200)＝﹣20x2+2800x﹣90000,∵a＝﹣20＜0,抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝70,∴当x＝70时,W有最大值，最大值为:﹣20×702+2800×70﹣90000＝8000(元),∴销售单价应为70元，该店铺每周销售利润最大,最大销售利润为8000元．【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（2020秋•海珠区期末）如图，在⊙O中，弦AB的长为6，∠AOB＝60°，⊙O上一动点C从点B出发以每秒个单位沿圆周逆时针运动，运动时间为t（秒）（0≤t≤16），点B关于AC的对称点为B'，射线CB'与⊙O另一交点为D．（1）直接写出⊙O的半径长；（2）当四边形ABCD的面积为时，求t值； （3）当点C运动到12秒时停止，在点C运动的过程中求△BCD的内心M所经过的路径长．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形，可得结论；（2）分两种情况：DC是直径和BC是直径时，计算其圆心角，利用弧长公式及路程，速度，时间的关系可得结论；（3）根据等角对等边可得：在点C的运动过程中MA永远保持不变，由于点C是从点B出发，所以点M也是从点B出发，以MA为半径运动了90度的圆心角，点M所经过的路径长即是这个弧长．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB＝6，即⊙O的半径长为6；（2）如图2，连接BC，BD，BD交OA于点N， ∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，∵点B关于AC的对称点为B'，∴∠BCA＝∠B'CA＝30°，∴＝，∴OA⊥BD，BN＝DN，∴∠ABD＝∠OBD＝30°，∴AN＝AB＝3，BN＝DN＝3，∴BD＝6，∴S△ABD＝＝＝9，∵四边形ABCD的面积为，∴S△BDC＝27﹣9＝18，如图3，延长DO交⊙O于点C'，连接BC'，则∠DBC'＝90°，∵∠AOB＝∠AOD＝60°，∴∠BOC'＝60°， ∴∠BDC'＝30°，∴BC'＝6，∴S△C'BD＝＝18，∴C与C'重合，∴t＝＝4；如图4，当BC是直径时，t＝＝12，综上，t的值是4或12；（3）由（2）知：当点C运动到12秒时恰好运动到如图4所示，C在BO的延长线上，在这个过程中，总有∠ACB＝∠ACD，作∠BDC的角平分线交AC于点M，则M就是△BCD的内心，∵∠ADB＝∠BCA＝∠ACD，又∵∠AMD＝∠MCD+∠MDC，∠ADM＝∠ADB+∠BDM，∴∠AMD＝∠ADM， ∴AM＝AD＝6，即在点C的运动过程中MA永远保持不变，由于点C是从点B出发，所以点M也是从点B出发，以MA为半径运动了90度的圆心角，∴点M所经过的路径长为×2×6π＝3π，答：在点C运动的过程中△BCD的内心M所经过的路径长是3π．【点评】本题是圆的综合题，有关点运动轨迹问题，涉及到垂径定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质和判定、轴对称的性质、弧长公式等知识点，有难度，本题涵盖的知识面比较广，是考查基础知识和基本能力的一道好题．25．（2020秋•南沙区期末）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上且AB＝AC．（1）如图1，点D为直径BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连接DE、BE，试探索线段BD，CD，DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D为⊙O外一点且∠ADB＝45°，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）若点D为⊙O上一点且∠ADB＝45°，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）如图1，证明△EAB≌△DAC（SAS），得BE＝CD，∠ABE＝∠C＝45°，证明∠EBD＝90°，最后根据勾股定理可得结论；（2）如图2，延长DB交⊙O于E，连接AE，CE，证明△DAB≌△EAC（SAS），得BD＝CE，最后根据勾股定理可得结论；（3）当点D在时，如图3，过点A作AE⊥AD交DB的延长线于点E，连接CD，证明△EAB≌△DAC（SAS），最后根据勾股定理可得结论．同理当D在上时，同理可得结论．【解答】证明：（1）如图1，BD2+CD2＝DE2，理由是： 由旋转得：AE＝AD，∠EAD＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠EAD，∴∠EAB＝∠DAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠C＝45°，∴∠EBD＝∠EBA+∠ABD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝CD2+BD2；（2）CD2＝2AD2+BD2，理由是：如图3，延长DB交⊙O于E，连接AE，CE，∵∠ACB＝∠AEB＝45°，∠ADB＝45°，∴∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD＝CE，∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，∴CD2＝DE2+CE2，∵△ADE是等腰直角三角形，∴DE2＝2AD2，∴CD2＝2AD2+BD2；（3）分两种情况：①如图3，BD+CD＝AD，理由如下：如图3，过点A作AE⊥AD，交DB的延长线于点E，连接CD，∵∠ADB＝45°，∴△AED是等腰直角三角形，∴∠E＝45°，AE＝AD，∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴EB＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE2＝2AD2，∴DE＝AD，∴BE+BD＝AD，∴CD+BD＝AD；②如图4，BD﹣CD＝AD，理由如下： 过点A作AE⊥AD，交DB于点E，∵∠ADB＝45°，∴△AED是等腰直角三角形，∴∠AED＝45°，AE＝AD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∠AEB＝90°+45°＝135°，∠ADC＝90°+45°＝135°∵AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（AAS），∴EB＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE2＝2AD2，∴DE＝AD，∴BD﹣BE＝AD，∴BD﹣CD＝AD．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解本题的关键