2022-2023学年上学期北京市初中数学九年级期末典型试卷1

2022-2023学年上学期北京市初中数学九年级期末典型试卷1一．选择题（共12小题）1．（2020秋•密云区期末）抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（  ）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）2．（2020秋•北京期末）⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，点P与⊙O的位置关系是（  ）A．无法确定B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．点P在⊙O内3．（2020秋•大兴区期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠A＝30°，AC＝2，则CD的长是（  ）A．4B．C．2D．4．（2020秋•大兴区期末）将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（  ）A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+35．（2020秋•北京期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（  ）A．a＜0B．4a+2b+c＞0C．c＞0D．﹣3＜＜06．（2020秋•北京期末）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（  ）A．它的图象经过点（0，2）B．它的图象的对称轴是直线x＝2C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＝0时，y有最大值为0 7．（2020秋•大兴区期末）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法正确的是（  ）A．ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a﹣3b+c＞0D．am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）8．（2020秋•平谷区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是（  ）A．B．C．D．9．（2020秋•密云区期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠CDB＝20°，则∠ABC的度数为（  ）A．20°B．40°C．70°D．90°10．（2020秋•大兴区期末）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得PA＞AB；②若，则PB＝2PA；③∠PAB不是直角；④∠POB＝2∠OPA． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ）A．①③B．③④C．②③④D．①②④11．（2020秋•顺义区期末）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（  ）A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+312．（2020秋•顺义区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…﹣3m10﹣3…有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1；④当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．其中正确的是（  ）A．①④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共8小题）13．（2020秋•平谷区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为  ． 14．（2020秋•平谷区期末）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8，则BE+GC的长为  ．15．（2020秋•昌平区期末）抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③a+b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是  ．16．（2020秋•昌平区期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…m…y…04664…﹣6…则这个二次函数图象的对称轴为直线x＝  ，m＝  （m＞0）．17．（2020秋•大兴区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是  ．18．（2020秋•密云区期末）如图，A、B、C是⊙O上三点，BC⊥OA，垂足为D．已知OA＝3，AD＝1，则BC长为  ． 19．（2020秋•平谷区期末）如图，已知点A、B、C是⊙O上三点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝  ．20．（2020秋•昌平区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为  ．三．解答题（共10小题）21．（2020秋•北京期末）用适当的方法解下列方程：（1）x2＝3x﹣2．（2）（m﹣1）2＝1﹣m．22．（2021•朝阳区校级模拟）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．23．（2020秋•北京期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣3＜x＜1时，直接写出y的取值范围． 24．（2020秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．（1）用含有a的代数式表示b；（2）求抛物线顶点M的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．25．（2020秋•密云区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+3a与y轴交于点P，将点P向右平移4个单位得到点Q，点Q也在抛物线上．（1）抛物线的对称轴是直线x＝  ；（2）用含a的代数式表示b；（3）已知点M（1，1），N（4，4a﹣1），抛物线与线段MN恰有一个公共点，求a的取值范围．26．（2020秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是  ； ②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与x轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（2020秋•密云区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c经过两点A（4，0），B（2，﹣4）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系xOy内画出抛物线的示意图；（3）若直线y＝mx+n经过A，B两点，结合图象直接写出不等式x2+bx+c＜mx+n的解集．28．（2020秋•平谷区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．（1）抛物线的对称轴为x＝  ；抛物线与y轴的交点坐标为  ；（2）若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；（3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围． 29．（2021•海淀区校级模拟）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O切线；（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．30．（2020秋•昌平区期末）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；④作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PE和PF，∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，∴点A是OE的中点．∵PO＝PE，∴PA⊥OA于点A  （填推理的依据）．同理PB⊥OB于点B．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．（  ）（填推理的依据）． 2022-2023学年上学期北京市初中数学九年级期末典型试卷1参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2020秋•密云区期末）抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（  ）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣1是抛物线的顶点式，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键．2．（2020秋•北京期末）⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，点P与⊙O的位置关系是（  ）A．无法确定B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．点P在⊙O内【考点】点与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，∴点P在⊙O内．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．3．（2020秋•大兴区期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠A＝30°，AC＝2，则CD的长是（  ）A．4B．C．2D． 【考点】垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】利用垂径定理得到CE＝DE，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出CE，从而得到CD的长．【解答】解：∵AB⊥CD，∴CE＝DE，在Rt△ACE中，∵∠A＝30°，∴CE＝AC＝×2＝1，∴CD＝2CE＝2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．4．（2020秋•大兴区期末）将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（  ）A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：（1，3）．可设新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得y＝﹣2（x﹣1）2+3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．5．（2020秋•北京期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（  ） A．a＜0B．4a+2b+c＞0C．c＞0D．﹣3＜＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】图表型；函数思想；几何直观．【分析】根据开口方向，对称轴，与y轴交点位置等即可得答案；【解答】解：A、由开口向下得a＜0，故A不符合题意，B、由图判断（2，4a+2b+c）在x轴下方，故4a+2b+c＜0，（如答图），故B符合题意，C、抛物线与y轴交点在y轴正半轴，c＞0，故C不符合题意，D、对称轴在y轴左侧，在（﹣3，0）右侧，故﹣3＜﹣＜0，D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查抛物线的图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与x轴（y轴）的交点进行判断．6．（2020秋•北京期末）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（  ）A．它的图象经过点（0，2）B．它的图象的对称轴是直线x＝2C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＝0时，y有最大值为0【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．【解答】解：二次函数y＝2x2，当x＝0时，y＝0，故它的图象不经过点（0，2），故选项A错误；它的图象的对称轴是直线y轴，故选项B错误；当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C正确；当x＝0时，y有最小值为0，故选项D错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键．7．（2020秋•大兴区期末）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法正确的是（  ）A．ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a﹣3b+c＞0D．am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则根据判别式的意义可对B选项进行判断；由于x＝﹣3时，y＝0，则可对C选项错误；根据二次函数的最值问题可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0，所以A选项错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以B选项错误； ∵x＝﹣3时，y＝0，∴9a﹣3b+c＝0，所以C选项错误；∵x＝﹣1时，y有最大值，∴am2+bm+c＜a﹣b+c，即am2+bm＜a﹣b，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．（2020秋•平谷区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是（  ）A．B．C．D．【考点】含30度角的直角三角形；扇形面积的计算．【专题】圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】本题中阴影部分的面积为Rt△ABC和扇形ACD的面积差，可在Rt△ACB中，根据∠B的度数，求出BC的长，即可得出扇形ACD的面积和Rt△ABC的面积．【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，所以BC＝AC＝，∠A＝60°，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ACD＝×1×﹣＝﹣．故选：B．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，通过直角三角形求出扇形的圆心角的度数和BC的长是解题的关键． 9．（2020秋•密云区期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠CDB＝20°，则∠ABC的度数为（  ）A．20°B．40°C．70°D．90°【考点】圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．【分析】根据圆周角定理得出∠CAB＝∠CDB，∠ACB＝90°，再根据直角三角形的性质求出即可．【解答】解：∵∠CDB＝20°，∴∠CAB＝∠CDB＝20°（圆周角定理），∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣20°＝70°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，注意：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两锐角互余．10．（2020秋•大兴区期末）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得PA＞AB；②若，则PB＝2PA；③∠PAB不是直角；④∠POB＝2∠OPA．上述结论中，所有正确结论的序号是（  ）A．①③B．③④C．②③④D．①②④ 【考点】圆周角定理；弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．【解答】解：①至少存在一点P，使得PA＞AB，错误．不存在．②若，则PB＝2PA，错误，应该是PB＜2PA．③∠PAB不是直角，正确．④∠POB＝2∠OPA．正确．故选：B．【点评】本题考查弧长的计算，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2020秋•顺义区期末）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（  ）A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3【考点】二次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】根据图象得出二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，再求出a即可．【解答】解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能根据图形读出正确信息是解此题的关键． 12．（2020秋•顺义区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…﹣3m10﹣3…有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1；④当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．其中正确的是（  ）A．①④B．②④C．②③D．③④【考点】根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2，故②正确；抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），有最大值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，故①错误；由抛物线关于直线x＝﹣2对称知，当y＝0时，x＝﹣1或x＝﹣3，故方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1，故③正确；当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1，故④错误，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二．填空题（共8小题）13．（2020秋•平谷区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 （﹣2，0） ． 【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，∴点Q的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．14．（2020秋•平谷区期末）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8，则BE+GC的长为 10 ．【考点】切线的性质．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】先根据切线长定理得到∴BF＝BE，CF＝CG，BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，再证明∠BOC＝90°，然后利用勾股定理计算出BC即可．【解答】解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点，∴BF＝BE，CF＝CG，BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠BCD），∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝×180°＝90°，∴∠BOC＝90°，在Rt△OBC中，∵BO＝6，CO＝8，∴BC＝＝10，∴BE+CG＝10．故答案为10．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和平行线的性质．15．（2020秋•昌平区期末）抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③a+b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是 ①②④ ．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；等腰直角三角形．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】①把x＝2代入解析式，求得函数值即可判断；②当m＝0时，根据抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断；③根据根与系数的关系即可判断；④根据二次函数图象即可判断．【解答】解：①∵把x＝2代入y＝﹣x2+2x+m得，y＝m，∴抛物线过点（2，m），故①正确；②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0），对称轴为x＝1，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；③∵抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧）， ∴a、b是方程＝﹣x2+2x+m＝0的两个根，∴a+b＝﹣＝2，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．16．（2020秋•昌平区期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…m…y…04664…﹣6…则这个二次函数图象的对称轴为直线x＝  ，m＝ 4 （m＞0）．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】利用表中数据可抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝，利用待定系数法求得二次函数的解析式，把y＝﹣6代入即可求得m的值．【解答】解：∵x＝0，y＝6；x＝1，y＝6，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），∴c＝6，∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），∴， 解得：，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，把y＝﹣6代入得，﹣6＝﹣x2+x+6，解得x＝4或x＝﹣3，∵m＞2，∴m＝4，故答案为，4．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求函数的解析式，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．17．（2020秋•大兴区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是 1＜m＜5 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，即可求得点P（5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），根据点的坐标特征即可得出答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点，∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝3，函数图象开口向上，∴点P（5，y1）关于直线x＝3的对称点为（1，y1），∵y1＞y2，∴1＜m＜5，故答案为1＜m＜5．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．18．（2020秋•密云区期末）如图，A、B、C是⊙O上三点，BC⊥OA，垂足为D．已知OA＝3，AD＝1，则BC长为 2 ． 【考点】勾股定理；垂径定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】连接OB，先由垂径定理得BD＝CD，再由勾股定理求出BD＝，即可得出答案．【解答】解：连接OB，如图所示：∵BC⊥OA，∴BD＝CD，∵OB＝OA＝3，AD＝1，∴OD＝OA﹣AD＝2，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．19．（2020秋•平谷区期末）如图，已知点A、B、C是⊙O上三点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝ 40° ．【考点】圆周角定理． 【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】利用圆周角定理解决问题即可．【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠AOB＝80°，∴∠ACB＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理解决问题．20．（2020秋•昌平区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为 2π ．【考点】正多边形和圆；弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】如图，连接OA，OB．利用弧长公式计算即可．【解答】解：如图，连接OA，OB．由题意OA＝B＝6，∠AOB＝60°，∴的长＝＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查正多边形与圆，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三．解答题（共10小题）21．（2020秋•北京期末）用适当的方法解下列方程：（1）x2＝3x﹣2．（2）（m﹣1）2＝1﹣m．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）移项，然后把方程左边分解因式，利用因式分解法即可求解．【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2；（2）（m﹣1）2＝1﹣m，移项，得：（m﹣1）2+（m﹣1）＝0，分解因式，得：（m﹣1）（m﹣1+1）＝0，则m﹣1＝0或m＝0，解得m1＝1，m2＝0．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．22．（2021•朝阳区校级模拟）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．【考点】一元二次方程的定义；解一元二次方程﹣公式法；根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】（1）证明：Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）由题意可知，m≠0Δ＝n2﹣4m×（﹣2）＝n2+8m＝0，即：n2＝﹣8m．以下答案不唯一，如：当n＝4，m＝﹣2时，方程为x2﹣2x+1＝0．解得x1＝x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题属于基础题型． 23．（2020秋•北京期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣3＜x＜1时，直接写出y的取值范围．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），然后把（0，﹣3）代入求出得到抛物线解析式；（2）利用描点发法画函数图象；（3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．【解答】解：（1）设y＝a（x+3）（x﹣1），将（0，﹣3）代入得a×3×（﹣1）＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1），即y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），如图， （3）当﹣3＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜0．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．24．（2020秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．（1）用含有a的代数式表示b；（2）求抛物线顶点M的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．【分析】（1）根据对称轴公式即可求得；（2）把b＝﹣2a代入y＝ax2+bx+a+1得：y＝ax2﹣2ax+a+1．把解析式化成顶点式即可求得；（3）①当a＝﹣1时，抛物线经过原点，此点关于对称轴的对称点为（2，0），画出图象，根据图象，即可求得；②分两种情况，当抛物线过（﹣1，0）时和当抛物线过（0，﹣2）时，画出函数的图象，结合图象确定有3个整数点时a的值，进而确定a的范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．∴，∴b＝﹣2a；（2）把b＝﹣2a代入y＝ax2+bx+a+1得：y＝ax2﹣2ax+a+1，配方得：y＝a（x﹣1）2+1． ∴顶点M（1，1）；（3）①当a＝﹣1时，a+1＝0，∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣0），此点关于对称轴的对称点为（2，0），如图1，由图象可知，区域W内整点有（1，0）1个；②由①得，a＝﹣1时，区域W内有1个整点．（Ⅰ）当抛物线过（﹣1，0）时，区域W内恰有3个整点．如图2，将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+a+1，得，结合图象可得，；（Ⅱ）当抛物线过（0，﹣2）时，区域W内恰有3个整点．如图3， 将（0，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax+a+1，得a＝﹣3．综上所述，a的值范围是或a＝﹣3．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．25．（2020秋•密云区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+3a与y轴交于点P，将点P向右平移4个单位得到点Q，点Q也在抛物线上．（1）抛物线的对称轴是直线x＝ 2 ；（2）用含a的代数式表示b；（3）已知点M（1，1），N（4，4a﹣1），抛物线与线段MN恰有一个公共点，求a的取值范围．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．【分析】（1）先求得点P的坐标，再根据平移的性质得到点Q的坐标；由于点P、点Q 的坐标关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；（2）根据对称轴公式即可求得；（3）根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a与y轴交于点P，∴P（0，3a），∵将点P向右平移4个单位得到点Q，∴Q（4，3a）；∵P与Q关于对称轴x＝2对称，∴抛物线对称轴直线x＝2，故答案为2；（2）∵抛物线对称轴直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a；（3）解：由（2）可知，抛物线的表达式为y＝ax2﹣4ax+3a，令y＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴抛物线经过（1，0）和（3，0）设点R（1，y1），S（4，y2）在抛物线上，则y1＝0，y2＝3a．故此点M在R上方，①当a＞0时，若使抛物线与线段恰有一个公共点，需满足点N与点S重合（如图1）或点N在点S下方（如图2），即3a≥4a﹣1，解得：a≤1，即0＜a≤1， ②当a＜0时，3a＞4a﹣1，故此点N在点S下方，此时抛物线与线段恰有一个公共点（如图3），综上所述：a的取值范围是：a＜0或0＜a≤1．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键．26．（2020秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是 直线x＝1 ；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与x轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．【考点】 二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【专题】分类讨论；二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】（1）①A与B关于对称轴x＝1对称；②A（0，c）向右平移2个单位长度，得到点B（2，c），代入解析式即可求得；（2）分两种情况a＞0和a＜0讨论，结合图象确定有7个整数点时a的最大和最小值，进而确定a的范围．【解答】解：（1）①∵A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴为直线x＝1，故答案为直线x＝1；②∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，∴A（0，c），点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，c），∵点B在抛物线上，∴4a+2b+c＝c，∴b＝﹣2a．（2）由题可知：A（0，3）B（2，3），①若a＞0时，如图1，在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）内的七个整点为（1，﹣1），（1，﹣2），（1，﹣3），（1，﹣4），（1，﹣5），（1，﹣6），（1，﹣7），∵x＝1时，y＝a+b+3＝﹣a+3，∴顶点为（1，﹣a+3），∴﹣8≤﹣a+3＜﹣7，∴10＜a≤11；②若a＜0时，如图2，在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）内的七个整点为（0，1），（0，2），（2，1），（2，2），（1，1），（1，2），（1，3）， 当x＝﹣1时，y＝3a+3，∵恰有7个整数点∴，∴﹣1≤a≤，综上，a的取值范围是10＜a≤11或﹣1≤a≤．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论a的情况，数形结合解题是解题的关键．27．（2020秋•密云区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c经过两点A（4，0），B（2，﹣4）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系xOy内画出抛物线的示意图；（3）若直线y＝mx+n经过A，B两点，结合图象直接写出不等式x2+bx+c＜mx+n的解集． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数解析式即可求得；（2）根据二次函数的解析式化成函数图象即可；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过两点A（4，0），B（2，﹣4）．∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x．（2）画出函数图象如图； （3）由图象可知，不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为2＜x＜4．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象和性质，正确画出图象，利用数形结合是解题的关键，28．（2020秋•平谷区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．（1）抛物线的对称轴为x＝ 1 ；抛物线与y轴的交点坐标为 （0，4） ；（2）若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；（3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】（1）根据对称轴是直线x＝﹣求出对称轴即可；把x＝0代入函数解析式求出y即可；（2）把点（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，再求出a即可； （3）先根据已知条件得出A，B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点B，点C到对称轴的距离小于点B，求出1﹣（m﹣1）＞m+2﹣1＞1﹣m，再求出m的范围即可．【解答】解：（1）x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝ax2﹣2ax+4＝4，所以抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线与y轴的交点坐标是（0，4），故答案为：1，（0，4）；（2）∵抛物线的顶点恰好在x轴上；∴抛物线的顶点坐标为（1，0），把（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4得：0＝a×12﹣2a×1+4，解得：a＝4，∴抛物线的解析式为y＝4x2﹣8x+4；（3）∵A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，又∵m﹣1＜m＜m+2，抛物线的对称轴是直线x＝1，∴A，B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点B，点C到对称轴的距离小于点B，∴1﹣（m﹣1）＞m+2﹣1＞1﹣m，解得：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．29．（2021•海淀区校级模拟）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O切线；（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长． 【考点】角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定与性质．【专题】证明题；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．【解答】（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE＝90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠DAE+∠OAD＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD＝6，∴DF＝FC＝3．在Rt△OFD中，OF＝AE＝4，∴OD＝＝＝5， 在Rt△AED中，AE＝4，ED＝EF﹣DF＝OA﹣DF＝OD﹣DF＝5﹣3＝2，∴AD＝，∴AD的长是．【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．30．（2020秋•昌平区期末）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；④作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PE和PF，∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，∴点A是OE的中点．∵PO＝PE，∴PA⊥OA于点A （三线合一） （填推理的依据）．同理PB⊥OB于点B．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．（ 经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）． 【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题即可．【解答】解：（1）补全图形如图：（2）证明：连接PE和PF，∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，∴点A是OE的中点，∵PO＝PE．∴PA⊥OA于点A（三线合一），同理PB⊥OB于点B，∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．（经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线）．故答案为：（三线合一），经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.