2022-2023学年上学期杭州市初中数学九年级期末典型试卷

2022-2023学年上学期杭州市初中数学九年级期末典型试卷一．选择题（共10小题）1．（2020秋•滨江区期末）在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，∠A＝∠D．如果△ABC的周长为24，面积为18，则△DEF的周长、面积分别是（  ）A．8，6B．8，2C．，6D．，22．（2020秋•滨江区期末）四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数是（  ）A．60°B．80°C．100°D．120°3．（2020秋•杭州期末）下列事件中，属于不可能事件的是（  ）A．a是实数，则|a|≥0B．任意一个三角形都有外接圆C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6D．一匹马奔跑的速度是每秒100米4．（2020秋•江干区期末）关于二次函数y＝﹣x2+2x的最值，下列叙述正确的是（  ）A．当x＝2时，y有最小值0B．当x＝2时，y有最大值0C．当x＝1时，y有最小值1D．当x＝1时，y有最大值15．（2020秋•江干区期末）已知二次函数y＝2mx2+（2﹣m）x，它的图象可能是（  ）A．B．C．D．6．（2020秋•江干区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，则（  ） A．B．C．D．7．（2020秋•江干区期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE＝3，AE＝4，则下列说法正确的是（  ）A．AC的长为B．CE的长为3C．CD的长为12D．AD的长为108．（2020秋•滨江区期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（  ）A．70°B．90°C．110°D．120°9．（2020秋•杭州期末）如图，在⊙O中，AB、DC是⊙O的直径，若∠DOA＝70°，则∠C＝（  ） A．20°B．35°C．55°D．70°10．（2020秋•杭州期末）已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（  ）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．（2020秋•江干区期末）已知抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为  ．12．（2020秋•杭州期末）已知圆心角为60°的扇形的弧长为π，则扇形的半径为  ．13．（2020秋•滨江区期末）若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是  ．14．（2020秋•江干区期末）如图是一张矩形纸片，E是AB的中点，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，AB＝2，则CB＝  ．15．（2020秋•江干区期末）已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为  ．16．（2020秋•滨江区期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为  元时，宾馆利润最大，最大利润是   元．三．解答题（共8小题）17．（2020秋•杭州期末）设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：（1）第一次取出的杯子是一等品的概率．（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．18．（2020秋•滨江区期末）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+bx+c图象过点A（m，0），B（m+3，0）．（1）当m＝1时，求该函数的表达式；（2）证明该函数的图象必过点（m+1，2）；（3）求该函数的最大值．19．（2020秋•杭州期末）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．20．（2020秋•江干区期末）已知函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣1），y2＝ax+m（a≠0）在同一平面直角坐标系中．（1）若y1经过点（1，﹣2），求y1的函数表达式．（2）若y2经过点（1，m+1），判断y1与y2图象交点的个数，说明理由．（3）若y1经过点（，0），且对任意x，都有y1＞y2，请利用图象求a的取值范围．21．（2020秋•杭州期末）商店销售某商品，销售中发现，该商品每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间存在如图所示的关系．其中成本为20元/个．（1）求y与x之间的函数关系式． （2）为了保证每天利润不低于1300元，单价不高于30元/个，那么商品的销售单价应该定在什么范围？22．（2020秋•杭州期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．23．（2020秋•杭州期末）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．（1）求证：AB＝AC；（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．24．（2020秋•江干区期末）已知钝角三角形ABC内接于⊙O，E、D分别为AC、BC的中点，连接DE． （1）如图1，当点A、D、O在同一条直线上时，求证：DE＝AC．（2）如图2，当A、D、O不在同一条直线上时，取AO的中点F，连接FD交AC于点G，当AB+AC＝2AG时．①求证：△DEG是等腰三角形；②如图3，连OD并延长交⊙O于点H，连接AH．求证：AH∥FG． 2022-2023学年上学期杭州市初中数学九年级期末典型试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2020秋•滨江区期末）在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，∠A＝∠D．如果△ABC的周长为24，面积为18，则△DEF的周长、面积分别是（  ）A．8，6B．8，2C．，6D．，2【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题；证明题；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】由AB＝3DE，AC＝3DF，可得＝3，＝3，可得＝，由∠A＝∠D，可证明△ABC∽△DEF，再根据相似三角形性质即可求得结论．【解答】解：在△ABC和△DEF中，∵AB＝3DE，∴＝3，∵AC＝3DF，∴＝3，∴＝，∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，∴＝＝3，∵△ABC的周长为24， ∴△DEF的周长＝×24＝8，∴＝＝32＝9∵S△ABC＝18，∴S△DEF＝S△ABC＝2．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，是一道基础题，熟练掌握和灵活运用相似三角形性质是解答本题的关键．2．（2020秋•滨江区期末）四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数是（  ）A．60°B．80°C．100°D．120°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝120°，故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．3．（2020秋•杭州期末）下列事件中，属于不可能事件的是（  ）A．a是实数，则|a|≥0B．任意一个三角形都有外接圆C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6D．一匹马奔跑的速度是每秒100米【考点】非负数的性质：绝对值；三角形的外接圆与外心；随机事件．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、a是实数，则|a|≥0，是必然事件；B、任意一个三角形都有外接圆，是随机事件；C、抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6，是随机事件；D、一匹马奔跑的速度是每秒100米，是不可能事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（2020秋•江干区期末）关于二次函数y＝﹣x2+2x的最值，下列叙述正确的是（  ）A．当x＝2时，y有最小值0B．当x＝2时，y有最大值0C．当x＝1时，y有最小值1D．当x＝1时，y有最大值1【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），∴当x＝1时，y有最大值1；∴D正确，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．5．（2020秋•江干区期末）已知二次函数y＝2mx2+（2﹣m）x，它的图象可能是（  ）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝2mx2+（2﹣m）x，∴当x＝0时，y＝0，即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误； 当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．（2020秋•江干区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，则（  ）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；几何直观．【分析】根据相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理得到＝或＝，然后利用比例的性质得到＝，于是可对各选项进行判断．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝或＝，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．7．（2020秋•江干区期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE＝3，AE＝4，则下列说法正确的是（  ） A．AC的长为B．CE的长为3C．CD的长为12D．AD的长为10【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．【分析】连接OA，根据勾股定理求出OA，求出CE和DE，再根据勾股定理求出AD，再得出答案即可．【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠AEC＝90°，由勾股定理得：OA＝＝＝5，即OC＝OD＝5，∴CD＝10，∵OE＝3，∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2，DE＝OE+OD＝3+5＝8，∴AD＝＝＝4，即只有选项A正确，选项B、选项C、选项D都错误； 故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记勾股定理是解此题的关键．8．（2020秋•滨江区期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（  ）A．70°B．90°C．110°D．120°【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】先利用圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝40°，则利用互余计算出∠DBC＝50°，再计算出∠ABE，然后根据三角形内角和可计算出∠AEB的度数．【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠D＝∠A＝40°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠D＝50°，∵∠ABC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝20°，∴∠AEB＝180°﹣（∠A+∠ABE）＝180°﹣（40°+20°）＝120°，故选：D．【点评】 本题重点考查了圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等．9．（2020秋•杭州期末）如图，在⊙O中，AB、DC是⊙O的直径，若∠DOA＝70°，则∠C＝（  ）A．20°B．35°C．55°D．70°【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：∵OA＝OC，∴∠A＝∠C，∵∠AOD＝∠A+∠C＝70°，∴∠C＝35°，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（2020秋•杭州期末）已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（  ）A．B．C．D．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．【分析】点A、B的纵坐标相同，则函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，解得b＝m +3，而二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，即可求解．【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，∴函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，解得b＝m+3，∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，故选：C．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2020秋•江干区期末）已知抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 y＝(x﹣1)2+1 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为：y＝（x+1﹣2）2+1,即y＝(x﹣1)2+1．故答案是：y＝(x﹣1)2+1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12．（2020秋•杭州期末）已知圆心角为60°的扇形的弧长为π，则扇形的半径为 3 ．【考点】弧长的计算． 【专题】与圆有关的计算；运算能力．【分析】设扇形的半径为R，根据弧长公式和已知条件得出＝π，再求出答案即可．【解答】解：设扇形的半径为R，∵圆心角为60°的扇形的弧长为π，∴＝π，解得：R＝3，∴扇形的半径为3，故答案为：3．【点评】本题考查了弧长的计算，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的弧长为．13．（2020秋•滨江区期末）若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是 π ．【考点】弧长的计算；扇形面积的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，根据扇形面积公式得出＝24π，求出R，再根据扇形的面积公式得出×l＝24π，求出l即可．【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，∵扇形的面积为24π，圆心角为216°，∴＝24π，解得：R＝2（负数舍去），∴×l＝24π，解得：l＝π， 即它的弧长是π，故答案为：π．【点评】本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，注意：已知扇形的圆心角是n°，半径为r，弧长为l，那么这个圆心角所对的弧的长度l＝，此扇形的面积S＝lr＝．14．（2020秋•江干区期末）如图是一张矩形纸片，E是AB的中点，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，AB＝2，则CB＝  ．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】由折叠的性质得出∠COD＝90°，证明△DCB∽△CBE，得出比例线段，设CB＝x，得出关于x的方程，则可得出答案．【解答】解：如图，DB与CE交于点O，∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，∴CE⊥BF，∴∠COD＝90°，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝∠ABC＝90°，AB＝DC＝2，∴∠DCE+∠CDB＝∠DCE+∠ECB＝90°，∴∠CDB＝∠ECB，∴△DCB∽△CBE，∴，设CB＝x，∵E是AB的中点，∴BE＝1，∴，∴x＝（负值舍去），故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（2020秋•江干区期末）已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为 ﹣1 ．【考点】黄金分割．【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP＝AB＝×2＝﹣1， 故答案为：﹣1．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．16．（2020秋•滨江区期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为 360 元时，宾馆利润最大，最大利润是 10240 元．【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力；应用意识．【分析】设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，根据利润等于（定价﹣40）×有人居住的房间数，可得y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，由题意得：y＝（180+10x﹣40）（50﹣x）＝﹣10x2+360x+7000＝﹣10（x﹣18）2+10240，∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当x＝18时，y有最大值，为10240．此时房间定价为180+10×18＝360（元）．∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．故答案为：360，10240．【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三．解答题（共8小题） 17．（2020秋•杭州期末）设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：（1）第一次取出的杯子是一等品的概率．（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；推理能力．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意列出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次取出都是一等品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个，∴第一次取出的杯子是一等品的概率是．（2）一等品杯子有A表示，二等品杯子有B表示，根据题意画图如下：由图可知，共有9种等可能的情况数；（2）∵共有9种等可能的情况数，其中两次取出都是一等品的有4种，∴两次取出都是一等品的概率是．【点评】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（2020秋•滨江区期末）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+bx+c图象过点A（m，0），B（m+3，0）．（1）当m＝1时，求该函数的表达式；（2）证明该函数的图象必过点（m+1，2）；（3）求该函数的最大值．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】（1）当m＝1时，A（1，0），B（4，0），然后利用交点式写出抛物线解析式；（2）利用交点式表示出抛物线解析式为y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3），然后根据二次函数图象上点的坐标特征就行证明；（3）利用配方法把交点式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】（1）解：当m＝1时，A（1，0），B（4，0），抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣4），即y＝﹣x2+5x﹣4；（2）证明：抛物线解析式为y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3），当x＝m+1时，y＝﹣（m+1﹣m）（m+1﹣m﹣3）＝2，所以该函数的图象必过点（m+1，2）；（3）y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3）＝﹣x2+（2m+3）x﹣m2﹣3m＝﹣（x﹣）2+，所以当x＝时，二次函数有最大值，最大值为．【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．19．（2020秋•杭州期末）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，即可求得a的值；（2）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到，解得m≤﹣6；（3）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得3＝4a+8a+3a，解得：，∴函数y的表达式y＝x2+x+；（2）∵抛物线得对称轴为直线x＝，a＞0，∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，∵时，此二次函数y随着x的增大而减小，∴，即m≤﹣6；（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3 ①当a＞0时，开口向上∴当x＝1时，y有最大值8a，∴8a＝3，∴；②当a＜0时，开口向下，∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，∴﹣a＝3，∴a＝﹣3，综上，或a＝﹣3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a；（2）根据二次函数的性质得到；（3）分开口向上和开口向下两种情况讨论．20．（2020秋•江干区期末）已知函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣1），y2＝ax+m（a≠0）在同一平面直角坐标系中．（1）若y1经过点（1，﹣2），求y1的函数表达式．（2）若y2经过点（1，m+1），判断y1与y2图象交点的个数，说明理由．（3）若y1经过点（，0），且对任意x，都有y1＞y2，请利用图象求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】数形结合；函数思想；判别式法；空间观念．【分析】（1）将（1，﹣2）代入y1＝（x+m）（x﹣m﹣1）可得m的值，从而得到答案，（2）将（1，m+1）代入y2＝ax+m得到a，再联立y1、y2判断解的个数从而得到交点个数，（3）将点（，0）代入y1可得m的值，再联立y1、y2求出图象只有一个交点时a的值，观察图象得到无交点时a的范围即得答案． 【解答】解：y1＝（x+m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣x﹣m2﹣m（1）将（1，﹣2）代入y1＝x2﹣x﹣m2﹣m得：﹣2＝12﹣1﹣m2﹣m，解得m1＝﹣2，m2＝1，m1＝﹣2时，y1＝x2﹣x﹣2，m2＝1时，y1＝x2﹣x﹣2，∴y1的函数表达式为：y1＝x2﹣x﹣2，故答案为：y1＝x2﹣x﹣2；（2）将点（1，m+1）代入y2＝ax+m得：m+1＝a+m，解得a＝1，∴y2＝x+m，由得x2﹣2x﹣m2﹣2m＝0，∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m2﹣2m）＝4m2+8m+4＝4（m+1）2，∵4（m+1）2≥0，∴△≥0，当m＝﹣1时Δ＝0，当m≠﹣1时Δ＞0，∴总有实数解，m＝﹣1时有一组解，当m≠﹣1时有两组解，∴y1与y2图象总有交点，当m＝﹣1时有一个交点，当m≠﹣1时有两个交点，故答案为：1或2；（3）将点（，0）代入y1＝x2﹣x﹣m2﹣m可得m1＝m2＝﹣，∴y1＝x2﹣x+，y2＝ax﹣， 由得x2﹣（a+1）x+＝0，∴△＝[﹣（a+1）]2﹣3＝（a+1）2﹣3，若Δ＝0，则只有一组解，即y1、y2图象只有一个交点，此时（a+1）2﹣3＝0，解得a＝﹣1或a＝﹣﹣1，如下图，如果y1、y2图象没有交点，则对任意x，都有y1＞y2，由图象可知此时0＜a＜﹣1或﹣﹣1＜a＜0，故答案为：0＜a＜﹣1或﹣﹣1＜a＜0．【点评】本题考查函数一次函数、二次函数表达式及图象的交点，关键是判断△的符号，从而得出交点情况．21．（2020秋•杭州期末）商店销售某商品，销售中发现，该商品每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间存在如图所示的关系．其中成本为20元/个．（1）求y与x之间的函数关系式． （2）为了保证每天利润不低于1300元，单价不高于30元/个，那么商品的销售单价应该定在什么范围？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设捐款后每天的剩余利润为w元，根据“单个利润×销售数量”列出函数解析式，求出w＝1300时x的值，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．将（25，900），（28，600）代入y＝kx+b中，得：，解得：，∴y与之间的函数关系式为y＝﹣100x+3400．（2）设捐款后每天的剩余利润为w元，依题意，得：w＝（x﹣20）（﹣100x+3400）＝﹣100x2+5400x﹣68000，令w＝1300，则﹣100x2+5400x﹣68000＝1300，解得x1＝21，x2＝33，∵﹣100＜0，x≤30，∴抛物线开口向下，∴当该商品的销售单价每支不低于21元且不高于30元时，可保证每天利润不低于1300元． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．22．（2020秋•杭州期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．【考点】等腰三角形的性质；垂径定理的应用；作图—应用与设计作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心．（2）设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，利用勾股定理解决问题即可．【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO、BC相交于点D，连接OB，∵BC＝8，∴BD＝4，∵AB＝5，∴AD＝3， 设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝R﹣3，∴R2＝42+（R﹣3）2，解得：R＝，∴该轮的半径R为．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．（2020秋•杭州期末）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．（1）求证：AB＝AC；（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可．（2）分三种情形：①BE＝BC，②BC＝CE，③BE＝CE，分别利用等腰三角形的性质求解即可．（3）连接AO并延长，交BC于点F，由AF∥CD，推出，可得OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，证明△ABE∽△DCE，可得，推出AE•CE＝DE•BE＝24，求出OD＝，再利用勾股定理，可得结论． 【解答】（1）证明：∵直径BD，∴∠ABE+∠ADB＝90°，∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝90°∠BAC，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90°∠BAC，∴∠ACB＝∠ABC，∴AB＝AC；（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．分情况：①BE＝BC，那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，∴∠ABE＝22.5°，∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．②BC＝CE，那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，∴∠ABE＝18°，∴∠BCE＝4∠ABE＝72°． ③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，∵直径BD，∴∠BCD＝90°，∴AF∥CD，∴，∴OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴，∴AE•CE＝DE•BE＝24，∵OB＝OD＝OA，∴OD•OD＝24，∴OD＝＝OA， ∴CD＝，BD＝，在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，∴BC＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24．（2020秋•江干区期末）已知钝角三角形ABC内接于⊙O，E、D分别为AC、BC的中点，连接DE．（1）如图1，当点A、D、O在同一条直线上时，求证：DE＝AC．（2）如图2，当A、D、O不在同一条直线上时，取AO的中点F，连接FD交AC于点G，当AB+AC＝2AG时．①求证：△DEG是等腰三角形；②如图3，连OD并延长交⊙O于点H，连接AH．求证：AH∥FG．【考点】圆的综合题．【专题】证明题；圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．【分析】（1）先根据垂径定理证明AB＝AC，然后根据三角形的中位线解答即可；（2）①由中位线的性质和中点的定义可得AB＝2DE，AC＝2AE，从而得到AE+DE＝AG，由图知：AE+EG＝AG，可证DE＝EG；②延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠ EGD＝∠AED，由平行线的性质和圆内接四边形的性质可证：∠AED＝∠BNC，进而可证∠CAH＝∠EGD，利用平行线判定定理即可证得结论．【解答】解：（1）证明：∵D是BC的中点，点A、D、O在同一条直线上，∴OD⊥BC，∴＝，∴AB＝AC，∵E、D分别为AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∴DE＝AC．（2）①∵E、D分别为AC、BC的中点，∴AB＝2DE，AC＝2AE，∵AB+AC＝2AG，∴2DE+2AE＝2AG，∴DE+AE＝AG，∵AE+EG＝AG，∴DE＝EG，∴△DEG是等腰三角形．②延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，∵DE＝EG，∴∠EDG＝∠EGD，∴∠AED＝∠EDG+∠EGD＝2∠EGD， ∴∠EGD＝∠AED，∵DE∥AB，∴∠BAC+∠AED＝180°，∵∠BAC+∠BNC＝180°，∴∠AED＝∠BNC，∵HO⊥BC，∴∠BOC＝2∠COH，∵∠BOC＝2∠BNC，∴∠COH＝∠BNC，∵∠CAH＝∠COH＝∠BNC，∴∠CAH＝∠EGD，∴AH∥FG． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质三角形中位线的判定和性质，圆内接四边形的性质，垂径定理，以及圆周角定理等重要知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键．