鲁教版九下教案5.2 第1课时 圆的对称性
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鲁教版九下教案5.2 第1课时 圆的对称性

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资料简介
5.2圆的对称性(1)教学目标(一)教学知识点1.圆的轴对称性、旋转不变性.2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理.(二)能力训练要求1.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力.2.利用圆的旋转不变性,研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理.(三)情感与价值观要求培养学生积极探索数学问题的态度及方法.教学重点圆心角、弧、弦之间关系定理.教学难点“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明.教学方法指导探索法.教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]前面我们已探讨过轴对称图形,哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?,[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形,这条直线叫对称轴.[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形?[生]折叠.[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性.Ⅱ.讲授新课6/6 [师]同学们想一想:圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?[生]圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴,有无数条对称轴.[师]是吗?你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下.[生]我们可以利用折叠的方法,解决上述问题.把一个圆对折以后,圆的两半部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便可知圆有无数条对称轴.[师]很好.教师板书:圆是轴对称图形图形,对称轴是任意一条过圆心的直线.下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念.1.圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc).2.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord).3.直径:经过圆心的弦叫直径(diameter).如右图。以A、B为端点的弧记作AB,渎作“圆弧AB”或“弧AB”;线段AB是⊙O的一条弦,弧CD是⊙O的一条直径.注意:1.弧包括优弧(majorarc)和劣弧(minorare),大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.如上图中,以A、D为端点的弧有两条:优弧ACD(记作ACD),劣弧ABD(记作AD).半圆,圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫半圆弧,简称半圆.半圆是弧,但弧不一定是半圆;半圆既不是劣弧,也不是优弧.[师]我们研究过中心对称图形,我们是用什么方法来研究它的,它的定义是什么?哪位同学知道?[生]用旋转的方法.中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫中心对称图形.这个点就是它的对称中心.[师]圆是一个特殊的圆形,通过前面的学习,同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形.那么,圆还有其他特性吗?6/6 下面我们继续来探讨.[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?[生]大小一样.[师]现在老师把这两个圆叠在一起,使它俩重合,将圆心固定.将上面这个圆旋转任意一个角度,两个圆还重合吗?[生]重合.[师]通过旋转的方法我们知道:圆具有旋转不变的特性.即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.即圆是中心对称图形,对称中心为圆心.[师]我们一起来做一做.按下面的步骤做一做:1.在两张透明纸上,作两个半径相等的⊙O和⊙O′,沿圆周分别将两圆剪下.2.在⊙O和⊙O′,上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如下图示),圆心固定.注意:在画∠AOB与∠A′O′B′时,要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致,否则当OA与OA′重合时,OB与O′B′不能重合.3.将其中的一个圆旋转一个角度.使得OA与O′A′重合.[生]教师叙述步骤,同学们一起动手操作.[师]通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下,说一说你的理由.[生甲]由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′.6/6 [生乙]由两圆的半径相等,可以得到∠OAB=∠OBA=∠O′A′B=∠O′B′A′.[生丙]由△AOB≌△A′O′B′,可得到AB=A′B′.[生丁]由旋转法可知弧AB=弧A′B′.[师]很好.大家说得思路很清晰,其实刚才丁同学说到弧AB=弧A′B′的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法.[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现,固定圆心,将其中一个圆旋转一个角度,使半径OA与O′A′重合时,由于∠AOB=∠A′O′B′.这样便得到半径OB与O′B′重合.因为点A和点A′重合,点B和点B′重合,所以弧AB和弧A′B′重合,弦AB与弦A′B′重合,即弧AB=弧A′B′,AB=A′B′.[师]在上述操作过程中,你会得出什么结论?[生]在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.[师]同学做得很好,这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性:圆心角、弧、弦之间相等关系定理.下面,我们一起来看一看命题的证明.(学生互相讨论交流.学生口述,教师板书)如上图所示,已知:⊙O和⊙O′是两个半径相等的圆,∠AOB=∠A′O′B′.求证:弧AB=弧A′B′,AB=A′B′.证明:将⊙O和⊙O′叠合在一起,固定圆心,将其中的一个圆旋转,一个角度,使得半径OA与O′A′重合,∵∠AOB=∠A′O′B′,∴半径OB与O′B′重合.∵点A与点A′重合,点D与点B′重合,∴弧AB与弧A′B′重合,弦AB与弦A′B′重合.∴弧AB=弧A′B′,AB=A′B′.上面的结论,在同圆中也成立.于是得到下面的定理,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.注意:在运用这个定理时,一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提.否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论.[师](通过举反例强化对定理的理解)6/6 请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图.[生]如下图示,虽然∠AOB=∠A′O′B′,,但AB≠A′B′,弧AB=弧A′B′下面我们共同想一想.[师]如果我们把两个圆心角用①表示;两条弧用表示:两条弦用③表示.我们就可以得出这样的结论:①相等在同圆或等圆中②相等③也相等如果在同圆或等圆这个前提下,将题设和结论中任何一项交换一下,结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说.(同学们互相交流、讨论)[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下,结论仍正确.可以通过旋转法或叠合法得到证明.[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下,结论也正确,可以通过证明全等或叠合法得到,[师]好,通过上面的探索,你得到了什么结论?[生]在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.注意:(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,否则,丢掉这个前提,虽然圆心角相等,但所对的弧、弦、弦心距不一定相等.(2)此定理中的“弧”一般指劣弧.(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义.否则易错用此关系.(4)在具体应用上述定理解决问题时,可根据需要,择其有关部分.如“6/6 在同圆中,等弧所对的圆心角相等”“在等圆中,弦心距相等的弦相等”等等.例如,右图中的∠1=∠2,有的同学认为∠1对AD,∠2对BC,就推出了AD=BC,显然这是错误的,因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦.[师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容.课本P10随堂练习1、2、3Ⅲ.课时小结[师]通过这一节的学习,在得出本节结论的过程中,回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳)[生]本节采用的方法有多种,利用折叠法研究了圆是轴对称图形,利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性,由圆的旋转不变性,我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理……Ⅳ.课后作业课本P10习题5.2Ⅴ.活动与探究(略)6/6

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