鲁教版九下教案5.4 第2课时 圆周角和圆心角的关系

5.4圆周角和圆心角的关系（2）  教学目标  (一)教学知识点  1．掌握圆周角定理几个推论的内容．  2．会熟练运用推论解决问题．  (二)能力训练要求  1．培养学生观察、分析及理解问题的能力．  2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．  (三)情感与价值观要求  培养学生的探索精神和解决问题的能力.  教学重点  圆周角定理的几个推论的应用．  教学难点  理解几个推论的“题设”和“结论”．  教学方法指导探索法．教具准备投影片三张第一张：引例第二张：例题第三张：做一做教学过程  Ⅰ．创设问题情境，引入新课  [师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之间有什么关系?  [生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．  [师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法?  [生]分类讨论、化归、转化思想方法．8/8   [师]同学们请看下面这个问题：(出示投影片§4．3．2A)已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如下图．  求证：PA·PB=PC·PD．[师生共析]要证PA·PB＝PC·PD，可证．由此考虑证明以PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD．要证△PAC∽△PDB．由已知条件可得∠APC与∠DPB相等，如能再找到一对角相等．如∠A＝∠D或∠C＝∠B．便可证得所求结论．如何寻找∠A=∠D或∠C=∠B.要想解决这个问题．我们需先进行下面的学习．Ⅱ．讲授新课  [师]请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个)  它们的大小有什么关系?你是如何得到的?  [生]弧AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的．  [师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC?(同学们互相交流、讨论)[生]由图可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧(弧AC)所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等．[师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A=∠D或∠C＝∠B找到答案了吗?  [生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角．由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A＝∠D或∠C＝∠B．  [师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗?  [生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等．  [师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．8/8 [师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗?请同学们互相议一议．[生]如图，结论不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是直径的情况下是不相等的.  注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．  (2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．  (3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．  [师]接下来我们看下面的问题：  如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?(同学们互相交流，讨论)  [生]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°．  [师]反过来，在图中，如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么?  [生]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC=90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径．  [师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：  直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．  注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．  [师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．8/8    [例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?  [师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．  下面哪位同学能叙述一下理由?  [生]BD=CD．理由是：  连结AD．  ∵AB是⊙O的直径，  ∴∠ADB=90°．  即AD⊥BC．  又∵AC＝AB,  ∴BD＝CD．  [师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法?试举例说明．  [生]在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法，比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角的概念……  Ⅲ．巩固练习  1．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．8/8   答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．  2．如下图，哪个角与∠BAC相等?  答：∠BDC＝∠BAC．  3.如下图，⊙O的直径AB＝10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．  解：∵AB为⊙O的直径．  ∴ACB=90°．  又∵∠ABC=30°，  ∴AC=AB=×10=5(cm)．  4．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?  答：图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．  Ⅳ．下面我们一起来看一个问题：做一做  船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．8/8   (1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?  (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?  分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角”∠ACB实际上就是圆周角，船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．  解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)，理由是：  连结BE，假设船在(⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此．船只能位于⊙O内．  (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O外)．理由是：  假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α