鲁教版七下课件10.5 第1课时 角平分线

思考：要在Ｓ区建一个集贸市场（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处4００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳO公路铁路 5角平分线第一课时 学习目标1、会用尺规作角平分线2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理3、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？（对折）1.什么是角平分线？怎样画角平分线？ ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求． 探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动2(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 同学甲、乙谁的画法是正确的?按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC,过点P的垂线段PE、PF，并度量所画PE、PF是否等长？CC 角平分线上的点到角的两边的距离相等．议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？ 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°又∵OP=OP∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)AOCB12PDE你能证明这个结论吗？角平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).图形语言文字语言数字符号语言AOCB12PDE ∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）练习：判断1. ∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。不必再证全等2. 1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ABCDEADOBEPC知识应用2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则（1）PE=_____cm.（2）P点到OB的距离_____cm. 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？（前提条件）已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．思考AOCB12PDE 已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)∴点P在∠AOB的角平分线上．AOCB12PDE 判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),且PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).图形语言文字语言数字符号语言AOCB12PDE这样，我们又可以得到一个结论： 梦想成真要在Ｓ区建一个集贸市场（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处4００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路AB 例1已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60°点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长.ABCDEF证明：∵DE⊥AB，DF⊥ACDE＝DF∴AD平分∠BAC又∵∠BAC=60°∴∠BAD=30,在Ｒt△ADE中，∵∠AED=90°，AD=10∴DE=½AD=½×10=5 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:BE=CF.ABEDCF证明：∵AD平分∠CABDE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF(角平分线的性质)在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,DE=DF（已证）BD=CD（已知）∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴BE=CF（全等三角形对应边相等） 已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF求证:AD是∠BAC的角平分线.ABEDCF证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB=∠CFD=90°在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,BE=CF（已证）BD=CD（已知）∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴DE＝DF(全等三角形对应边相等)又∵DE⊥AB，DF⊥AC∴点D在∠A的角平分线上。即AD是它的角平分线 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求:AD与EF关系？ABEDCF证明:∵AD平分∠CABDE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF(角平分线的性质)∠DAE=∠DAF∵∠DEB=∠CFD=90°∴∠ADE=∠ADF,即AD是∠EDF的角平分线∵DE＝DF,AD是∠EDF的角平分线∴AD垂直平分EF.(三线合一）O 巩固提高已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E。求证：BD＋DE＝AC变式已知AB＝15cm,求△DBE的周长EDCBA 1.用尺规作角平分线2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.3.角平分线的判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.回顾一下吧，本节课你学到了什么？ 1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE_______PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_____∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=____.随堂练习==1