第2课时 类比推理
1.类比推理(1)类比推理的含义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.(2)类比推理的特点:①类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;②类比是以原有知识为基础,猜测新结论;③类比能发现新结论,但结论具有猜测性,它的准确性需要证明.
做一做1下面使用类比推理正确的是()A.“若a·3=b·3,则a=b”类推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“(a·b)c=ac·bc”C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“(c≠0)”D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”解析:只有C选项中的类比是正确的,其余均错.答案:C
2.类比推理的一般步骤(1)明确两类对象;(2)找出两类对象之间的相似性或者一致性;(3)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得到一个明确的结论.做一做2在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为.解析:因为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体积之比为相似比的立方,故体积比为1∶8.答案:1∶8
3.合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.做一做3下列说法正确的是()A.合情推理的结论一定正确B.合情推理的结论一定不正确C.归纳推理和类比推理都属于合情推理D.合情推理是由一般到特殊的推理答案:C
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)类比推理是由一般到特殊的推理.()(2)由直线与圆相切时,圆心与切点的连线和直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切点的连线与平面垂直,这运用了类比推理.()(3)类比推理得到的结论不一定是正确的.()(4)合情推理在数学证明和数学发现中具有重要作用.()×√√√
探究一探究二探究三平面与空间的类比【例1】我们知道,在平面中,如果一个平行四边形的两条对角线相等,那么这个平行四边形是矩形.将这一结论类比推广到空间中,我们可以得到怎样的结论?如何证明该结论的准确性?分析:由平面向空间类比推广时,平行四边形与平行六面体是类比对象,矩形则与直平行六面体是类比对象,平行四边形的对角线与平行六面体的体对角线是类比对象.当堂检测思维辨析
探究一探究二探究三解:空间中,类似的结论是:如果一个平行六面体的体对角线相等,那么这个平行六面体是直平行六面体.证明如下:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若对角线A1C与AC1相等,则四边形ACC1A1是矩形,因此A1A⊥AC.同理,由BD1=B1D可得四边形BB1D1D是矩形,因此D1D⊥DB,即A1A⊥DB.又因为AC与BD相交,所以A1A⊥底面ABCD,故平行六面体是直平行六面体.当堂检测思维辨析
探究一探究二探究三当堂检测思维辨析
探究一探究二探究三答案:C当堂检测思维辨析
探究一探究二探究三等差数列与等比数列的类比【例2】在等差数列{an}中,如果m,n,p,r∈N*,且m+n+p=3r,那么必有am+an+ap=3ar,类比该结论,写出在等比数列{bn}中类似的结论,并用数列知识加以证明.分析:从等差数列与等比数列的定义与性质出发,寻找两种数列的联系点进行类比.当堂检测思维辨析
探究一探究二探究三当堂检测思维辨析
探究一探究二探究三变式训练2已知{an}为等比数列,a7=6,则a1a2·…·a13=613.类比该结论,若{bn}为等差数列,b7=6,则{bn}中的类似结论为.解析:等比数列中,“乘积”类比到等差数列中“和”,故应有结论为b1+b2+…+b13=6×13.答案:b1+b2+…+b13=6×13当堂检测思维辨析
探究一探究二探究三解题方法的类比问题当堂检测思维辨析
探究一探究二探究三分析:这是解题方法上的类比问题,分析已经给出的问题的解题方法与步骤可知,应首先设出欲求值的式子,然后根据式子的循环与周期性进行求解.答案:C当堂检测思维辨析
探究一探究二探究三当堂检测思维辨析
探究一探究二探究三解析:将不等式化为x6+x2>(2x+3)3+(2x+3),构造函数f(x)=x3+x,显然函数f(x)在R上单调递增,而f(x2)>f(2x+3),所以x2>2x+3,解得x>3或x
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