人教A版选修1-2课件2.2.1 综合法和分析法

2.2直接证明与间接证明 2.2.1综合法和分析法 1.综合法(1)综合法的定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.(2)综合法的推理过程:P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q.其中,P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明的结论.(3)综合法证明的特点:①综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件.②综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和运算法则,通过演绎推理,一步一步完成命题的证明. A.间接证明的方法B.综合法C.分析法D.综合法与分析法结合的方法解析:该证明过程采用了综合法的证明方法.答案:B 2.分析法(1)分析法的定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法.(2)分析法的推理过程:Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(3)分析法证明的特点:①分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件.②分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为已知条件、定义、公理、定理等. 3.综合法和分析法的综合应用(1)综合法和分析法各有优缺点.综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考;分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁琐.在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q';根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P'.若由P'可以推出Q'成立,即可证明结论成立.(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等,用Q表示要证明的结论,则上述过程可用框图表示为: 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法.()(2)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法.()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法.()(4)综合法又叫顺推证法或由因导果法.()×√√√ 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测综合法的应用【例1】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,分析:所证等式中含有边和角,因此可考虑从等式的左边出发,利用正余弦定理将边转化为角,然后利用三角函数公式进行推证. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.证明:因为a,b,c是正数,所以b2+c2≥2bc,所以a(b2+c2)≥2abc.①同理可得b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③又因为a,b,c不全相等,所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式中不能同时取到“=”.故①②③式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分析法的应用【例2】已知函数f(x)=x2-2x+2,若m>n>1,求证:f(m)+f(n)>.分析:已知条件较少,且很难和欲证不等式直接联系起来,故可考虑从欲证不等式出发,采用分析法证明.解:要证明,即证(m2-2m+2)+(n2-2n+2)>,即证2m2+2n2>m2+2mn+n2,只需证m2+n2>2mn,即证(m-n)2>0,由于m>n>1,所以(m-n)2>0显然成立,故原不等式成立. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2在锐角三角形ABC中,求证:tanAtanB>1.证明:要证tanAtanB>1,只需证,由于A,B均为锐角,所以cosA>0,cosB>0.因此只需证明sinAsinB>cosAcosB,即cosAcosB-sinAsinB