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答案:①合情②部分③一般④特殊⑤特殊⑥三段论⑦一般⑧特殊⑨直接⑩综合分析反证
专题一专题二专题三专题四专题一合情推理及其应用归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能够帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.归纳推理的思维过程大致如下:实验,观察→概括,推广→猜测一般性结论类比推理的思维过程大致如下:观察,比较→联想,类推→猜测新的结论
专题一专题二专题三专题四例1根据三角恒等变换,可得如下等式:cosθ=cosθ;cos2θ=2cos2θ-1;cos3θ=4cos3θ-3cosθ;cos4θ=8cos4θ-8cos2θ+1;cos5θ=16cos5θ-20cos3θ+5cosθ.依此规律,猜想cos6θ=32cos6θ+acos4θ+bcos2θ-1,则有a+b=.分析:观察给出的各个等式的系数的特点,利用归纳推理求解.解析:由所给的三角恒等变换等式可知,所有各式中,各系数与常数项的和是1,因此32+a+b-1=1,于是a+b=-30.答案:-30
专题一专题二专题三专题四变式训练1已知函数f(x)=sinx+ex+x2016,令f1(x)=f'(x),f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn+1(x)=f'n(x),则f2017(x)=()A.sinx+exB.cosx+exC.-sinx+exD.-cosx+ex解析:由已知得f1(x)=cosx+ex+2016x2015,f2(x)=-sinx+ex+2016×2015x2014,f3(x)=-cosx+ex+2016×2015×2014x2013,f4(x)=sinx+ex+2016×2015×2014×2013x2012,f5(x)=cosx+ex+2016×2015×2014×2013×2012x2011,由此可以发现,fn(x)的前两项的和成周期性变化,周期为4,故f2017(x)的前两项的和应为cosx+ex;又f2016(x)的第三项应为2016×2015×2014×…×2×1,所以f2017(x)的第三项等于0,于是f2017(x)=cosx+ex.答案:B
专题一专题二专题三专题四
专题一专题二专题三专题四分析:类比已知图形,考查线段AB与曲线AB的位置关系,可得结论.解析:点A,B是函数y=sinx(x∈(0,π))的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的下方,所以.答案:A
专题一专题二专题三专题四变式训练2在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图中所标边长,由勾股定理有c2=a2+b2.把正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面的面积,S4表示截面面积,那么类似的结论是.
专题一专题二专题三专题四专题二演绎推理及其应用演绎推理是由一般到特殊的推理,又叫逻辑推理.其中三段论推理是演绎推理的主要形式.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中.(2)演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它创造性较少,但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.
专题一专题二专题三专题四例3已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极小值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.分析:对于(1),可利用函数取得极值的条件建立方程组求解;对于(2),可按照求函数最值的步骤求解.
专题一专题二专题三专题四(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f'(x)=3x2-12.令f'(x)=0,得x=-2或x=2.当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)内为增函数;当x∈(-2,2)时,f'(x)0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.即证2abcd≤b2c2+a2d2.即证0≤(bc-ad)2.∵a,b,c,d∈R,∴上式恒成立,故原不等式成立.综合①②知,命题得证.证法二(综合法)∵(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2bcad+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2,
专题一专题二专题三专题四变式训练4已知sinα+cosα=1,求证:sin6α+cos6α=1.证明:要证sin6α+cos6α=1,只需证(sin2α+cos2α)(sin4α-sin2αcos2α+cos4α)=1.即证sin4α-sin2αcos2α+cos4α=1,只需证(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2α=1,即证1-3sin2αcos2α=1,即证sin2αcos2α=0,只需证sinαcosα=0,由已知sinα+cosα=1,所以sin2α+cos2α+2sinαcosα=1,所以sinαcosα=0成立,故sin6α+cos6α=1.
专题一专题二专题三专题四专题四反证法及其应用反证法是一种间接证明的方法,它体现了“正难则反”的证明思想.运用反证法证明问题时,应注意以下几点:(1)必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出所有可能的情况.(2)反证法证明过程中,必须把结论的否定作为条件进行推理,否则,仅否定结论,但不从结论的反面出发进行推理,即使证得了结论,也不符合反证法的要求.(3)反证法中,导出的矛盾可以是多种多样的,有的是与已知条件矛盾,有的是与假设矛盾,有的是与已知的事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.
专题一专题二专题三专题四分析:对于(1),可通过计算数列的前几项,观察其特点,利用归纳推理得出通项公式;(2)是否定性命题,可运用反证法证明.
专题一专题二专题三专题四
专题一专题二专题三专题四变式训练5有十只猴子一共分了56个香蕉,每只猴子至少分到1个香蕉,最多分到10个香蕉,试证明:至少有两只猴子分到同样多的香蕉.证明:假设十只猴子分到的香蕉数各不相同,由于每只猴子至少分到1个香蕉,最多分到10个香蕉,所以十只猴子分别分到了1,2,3,…,10个香蕉,此时十只猴子一共分了1+2+3+…+10=55个香蕉,这与十只猴子一共分了56个香蕉相矛盾,故假设错误,即至少有两只猴子分到同样多的香蕉.
考点一考点二考点三考点四考点一:归纳推理及其应用1.(2012江西高考)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199解析:利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案:C
考点一考点二考点三考点四2.(2016山东高考)观察下列等式:
考点一考点二考点三考点四解析:由等式可知,等式右边共3个数相乘,第1个数都是;而所给等式就是第n个式子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n;第3个数比第2个数大1,所以第3个数为n+1.所以第n个式子等号右边为n(n+1).答案:n(n+1)
考点一考点二考点三考点四3.(2015陕西高考)观察下列等式
考点一考点二考点三考点四考点二:演绎推理及其应用4.(2013浙江高考)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则()A.a∧b≥2,c∧d≤2B.a∧b≥2,c∨d≥2C.a∨b≥2,c∧d≤2D.a∨b≥2,c∨d≥2解析:由题意知,运算“∧”为两数中取小,运算“∨”为两数中取大,由ab≥4知,正数a,b中至少有一个大于等于2.由c+d≤4知,c,d中至少有一个小于等于2,故选C.答案:C
考点一考点二考点三考点四5.(2014课标全国Ⅰ高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析:由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.答案:A
考点一考点二考点三考点四考点三:综合法与分析法的应用6.(2014四川高考)若a>b>0,c0,c0,∴-ac>-bd,即ac
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