人教A版选修2-1课件 第3章 本章整合

本章整合 填一填:①②③④a=λbp=xa+ybp=xa+yb+zc|a||b|cos ⑤⑥⑦⑧⑨⑩u1∥u2u⊥nn1∥n2u1⊥u2u∥nn1⊥n2 专题一专题二专题三专题一空间向量的概念及运算空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等.例1给出下列命题:①若,则必有A与C重合,B与D重合,AB与CD为同一线段;②若a·b0,则λ的值为.解析：(1)因为(ka-b)⊥b,所以(ka-b)·b=0,即ka·b-|b|2=0,因此-k-17=0,解得k=-17.(2)因为a=(0,-1,1),b=(4,1,0),所以λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ).因为|λa+b|=,所以42+(1-λ)2+λ2=29,整理得λ2-λ-6=0,解得λ=3或λ=-2,又因为λ>0,故λ=3.答案：(1)-17(2)3 专题一专题二专题三专题二利用空间向量证明位置关系利用空间向量可以避开繁杂的作图与推理,只需通过向量的运算即可证明线面位置关系. 专题一专题二专题三 专题一专题二专题三例2如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.求证:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面EGF∥平面ABD.分析：建立空间直角坐标系,通过坐标运算,结合线面垂直,面面平行的判定定理进行证明. 专题一专题二专题三证明：(1)如图所示,建立空间直角坐标系,设A1(a,0,0),则B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4), 专题一专题二专题三变式训练2如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.求证:(1)PA∥平面EDB;(2)平面PBD⊥平面EFD. 专题一专题二专题三证明：以D点为坐标原点,所在的方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz(如图所示).设DC=a.(1)连接AC,交BD于G,连接EG. 专题一专题二专题三由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD.又因为PB⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面EFD. 专题一专题二专题三专题三利用空间向量求空间角空间角主要包括异面直线所成角、直线与平面所成的角、二面角,用空间向量求解空间角的方法如下: 专题一专题二专题三例3如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.(1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值;(2)求二面角B-AP-C的余弦值.分析：建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,然后按照求线面角与二面角的步骤进行求解. 专题一专题二专题三解：设AB的中点为D,连接CD,作PO⊥AB于点O.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以PO⊥平面ABC.所以PO⊥CD.由AB=BC=CA,知CD⊥AB.设E为AC中点,连接OE,则EO∥CD,从而OE⊥PO,OE⊥AB.如图,以O为坐标原点,OB,OE,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 专题一专题二专题三 专题一专题二专题三 专题一专题二专题三变式训练3如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱BB1的中点.(1)求直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值.(2)求二面角A-MC1-A1的余弦值.解：以B为坐标原点,BC,BA,BB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,1,0),A1(0,1,1),M,C1(1,0,1). 专题一专题二专题三 专题一专题二专题三 考点一考点二考点三考点一:空间向量及其运算1.(2016全国甲高考)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8解析：由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8,故选D.答案：D 考点一考点二考点三2.(2014广东高考)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)解析：由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选B.答案：B 考点一考点二考点三考点二:利用空间向量求空间角3.(2016全国丙高考)已知向量,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°解析：由题意得所以∠ABC=30°,故选A.答案：A 考点一考点二考点三4.(2014课标全国Ⅱ高考)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()解析：如图,以点C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,不妨设BC=CA=CC1=1,可知点 考点一考点二考点三答案：C 考点一考点二考点三5.(2015四川高考)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为. 考点一考点二考点三解析：以A为坐标原点,射线AB,AD,AQ分别为x,y,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形ABCD和ADPQ的边长为2,则E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0≤y≤2). 考点一考点二考点三 考点一考点二考点三6.(2015课标全国Ⅱ高考)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值. 考点一考点二考点三解：(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10. 考点一考点二考点三 考点一考点二考点三7.(2015重庆高考)如图,三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=2.(1)证明:DE⊥平面PCD;(2)求二面角A-PD-C的余弦值.(1)证明：由PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,故PC⊥DE.由CE=2,CD=DE=得△CDE为等腰直角三角形,故CD⊥DE.由PC∩CD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE⊥平面PCD. 考点一考点二考点三 考点一考点二考点三 考点一考点二考点三考点三:利用空间向量解决综合问题8.(2016全国甲高考)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=.(1)证明:D'H⊥平面ABCD;(2)求二面角B-D'A-C的正弦值. 考点一考点二考点三解：(1)由已知得AC⊥BD,AD=CD. 考点一考点二考点三 考点一考点二考点三 考点一考点二考点三9.(2015课标全国Ⅰ高考)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(1)证明:平面AEC⊥平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 考点一考点二考点三解：(1)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF. 考点一考点二考点三