人教A版选修2-1课件3.2.1 利用向量证明空间中的平行关系

3.2立体几何中的向量方法 第1课时 利用向量证明空间中的平行关系 1.空间中点、直线、平面的向量表示(1)点的位置向量在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图①. (2)直线的方向向量空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定,如图②,点A是直线l上一点,向量a表示直线l的方向(方向向量),在直线l上取=a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在实数t,使得. (3)平面的向量形式空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.如图③,设这两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得=xa+yb.这样,点O与向量a,b不仅可以确定平面α的位置,还可以具体表示出平面α内的任意一点.(4)平面的法向量对于直线l和平面α,若l⊥α,取l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量. 做一做1下列说法中正确的是()A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的解析：由平面法向量的定义可知,B项正确.答案：B 2.空间中平行关系的向量表示 做一做2若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行,则x=,y=.解析：因为两条直线平行,所以a∥b.解得x=-12,y=15.答案：-1215做一做3若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是.解析：因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.答案：平行 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)一个平面的法向量都是同向的.()(2)平面的法向量与该平面内的所有向量都是垂直的.()(3)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行,则这条直线与这个平面平行.()(4)若两个平面的法向量的坐标分别为n1=(0,-2,3),n2=(1,a,b),则这两个平面不可能平行.()×√×√ 探究一探究二探究三思维辨析探究一平面法向量及其求法【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.分析：首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解. 探究一探究二探究三思维辨析解：如图所示建立空间直角坐标系. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练1已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量.解：设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 探究一探究二探究三思维辨析探究二利用向量方法证明线面平行【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析方法三:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练2导学号03290067如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE. 探究一探究二探究三思维辨析证明：建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,则点N,E的坐标分别是 探究一探究二探究三思维辨析探究三利用向量方法证明面面平行【例3】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?分析：建立空间直角坐标系,设出点Q的坐标,然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明. 探究一探究二探究三思维辨析解：如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练3导学号03290068在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD. 探究一探究二探究三思维辨析证明：建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,3,0), 探究一探究二探究三思维辨析忽视直线与平面平行的条件致误典例若直线l的方向向量为a=(3,-1,4),平面α的法向量为n=,则直线l与平面α的位置关系是.错解平行正解因为a·n=(3,-1,4)·=0,所以a⊥n.所以l∥α或l⊂α,即直线与平面平行,或直线在平面内. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练直线l的方向向量为a,平面α内两共点向量,下列关系中能推出l∥α的是()解析：选项A,B,C都能推出l∥α或l⊂α,但不能确定一定是l∥α.答案：D 1.若不重合的直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),则()A.l1∥l2B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直D.不能确定解析：因为,所以a∥b.又直线l1,l2不重合,所以l1,l2平行.答案：A 2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB()A.与坐标平面xOy平行B.与坐标平面yOz平行C.与坐标平面xOz平行D.与坐标平面yOz相交解析：因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以=(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行.答案：B 3.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是()A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)解析：因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.答案：D 4.已知l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为,则m=.答案：-8 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明：如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),