人教A版选修2-1课件3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 1.空间向量基本定理如果空间三个向量a,b,c不共面,那么对于空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.做一做1在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间向量一组基底的是()解析：只有不共面的三个向量才能作为一组基底,在三棱柱中,不共面,可作为基底.答案：C 2.空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底.(2)空间直角坐标系以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量=p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为(x,y,z). 做一做2在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若,则等于()解析：答案：C做一做3若a=3e1+2e2-e3,且{e1,e2,e3}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为.答案：(3,2,-1) 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)空间向量的基底是唯一的.()(2)若a,b,c是空间向量的一组基底,则a,b,c均为非零向量.()(3)已知A,B,M,N是空间四点,若不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.()(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.()×√√√ 探究一探究二探究三思维辨析探究一对基底与基向量的理解【例1】判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)空间任意三个不共线的向量均可作为一组基底;(2)基向量中可以含有零向量,但至多一个;(3)如果向量a,b与空间任何向量都不能构成一组基底,那么向量a,b一定是共线向量;(4)如果向量组{a,b,c}是空间的一个基底,且m=a+c,那么{a,b,m}也是空间的一组基底.分析：按照基底与基向量的定义进行判断分析. 探究一探究二探究三思维辨析解：(1)错误,因为空间中三个不共面的向量才能构成一组基底.(2)错误,基向量中一定不可以含有零向量.(3)正确,向量a,b与空间任何向量都不能构成一组基底,说明向量a,b与空间任何向量都是共面向量,从而a,b一定是共线向量.(4)正确,因为若a,b,m共面,则存在唯一实数x,y使得m=xa+yb,即a+c=xa+yb,因此(x-1)a+yb-c=0,而a,b,c不共面,所以x-1=y=-1=0,这显然不成立,故a,b,m不共面,即{a,b,m}也是空间的一组基底. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练1已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是()A.aB.bC.a+2bD.a+2c解析：只有a+2c与p,q不共面,可以作为一组基底.答案：D 探究一探究二探究三思维辨析探究二用基底表示空间向量【例2】在空间四边形ABCD中,AC和BD是对角线,G为△ABC的重心,分析：根据空间向量基本定理,结合空间向量的加法、减法与数乘向量运算进行分解. 探究一探究二探究三思维辨析解：如图,连接AE,AG,并延长AG,与BC交于点F,则F是BC的中点. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练2已知空间四边形OABC中,,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则等于()解析：显然答案：B 探究一探究二探究三思维辨析探究三空间向量的坐标表示【例3】在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.分析：先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系,再根据空间向量基本定理,将用基底表示,即得坐标. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析建立空间直角坐标系不当致误典例如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系,则的坐标分别为,. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练导学号03290062已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1.建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.解：∵PA=AD=AB=1,且PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz(如图). 探究一探究二探究三思维辨析 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是()解析：只有C选项中的三个向量是不共面的,可以作为一组基底.答案：C 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CC1D1D的中心,且,则m,n的值分别为()答案：A 3.已知正方体OABC-O'A'B'C'的棱长为1,若以为基底,则向量的坐标是()A.(1,1,1)B.(1,0,1)C.(-1,-1,-1)D.(-1,0,1)答案：A 4.如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若,则λ的值等于. 5.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E是上底面A'B'C'D'的中心,取向量为基底的基向量,在下列条件下,分别求x,y,z的值.