人教A版选修2-1课件3.2.3 利用向量求空间角

第3课时 利用向量求空间角 1.利用向量方法求两异面直线所成角若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有cosθ=|cos|=. 2.利用向量方法求直线与平面所成角若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则有sinθ=|cos|=. 做一做2若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A.120°B.60°C.150°D.30°解析：因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,所以它们所在直线的夹角为60°,则直线l与平面α所成的角等于90°-60°=30°.答案：D 3.利用向量方法求二面角(1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别为n1,n2,则|cosθ|=|cos|=;(2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α,β内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小. A.120°B.150°C.30°或150°D.60°或120°解析：设所求二面角的大小为θ,答案：C 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.()(2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.()(3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.()(4)若二面角两个面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.()×××√ 探究一探究二探究三思维辨析探究一利用向量方法求两异面直线所成角【例1】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.分析：建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角. 探究一探究二探究三思维辨析解：分别以BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图). 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练1如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 探究一探究二探究三思维辨析探究二利用向量方法求直线与平面所成角【例2】正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.分析：利用正三棱柱的性质,建立适当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标.求角时有两种思路:一种是由定义找出线面角;另一种是利用平面ABB1A1的法向量n求解. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为()答案：B 探究一探究二探究三思维辨析探究三利用向量方法求二面角【例3】如图,在正方体ABEF-DCE'F'中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值.分析：有两种思路,一是先根据二面角平面角的定义,在图形中作出二面角的平面角,然后利用向量方法求出夹角从而得到所成二面角的大小;另一种是直接求出两个面的法向量,通过法向量的夹角求得二面角的大小. 探究一探究二探究三思维辨析解：设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,则 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练3导学号03290074如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C1的大小.解：如图,建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),设AC的中点为M,因为BM⊥AC,BM⊥CC1,所以BM⊥平面A1C1C, 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析对空间角与向量夹角之间的关系理解不清致误典例在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练已知两异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,若cos=-,则l1与l2所成的角为.解析：由异面直线夹角的范围可得l1与l2所成的角为180°-120°=60°.答案：60° 1.平面α的斜线l与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析：l与α所成的角即为a与b所成的角(或其补角),因为答案：C 2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos=-,则l与α所成的角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析：由已知得直线l和平面α法向量所夹锐角为60°,因此l与α所成的角为30°.答案：A 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于()A.45°B.60°C.90°D.120°答案：B 4.在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为. 5.如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA.求二面角A-BE-D的余弦值.解：以B为原点,以BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设平面EBD的一个法向量为n1=(x,y,1),