人教A版选修2-1课件3.2.2 利用向量证明空间中的垂直关系

第2课时 利用向量证明空间中的垂直关系 垂直关系与方向向量、法向量的关系 做一做1直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则()A.l1∥l2B.l1与l2相交,但不垂直C.l1⊥l2D.不能确定解析：因为a·b=0,所以a⊥b,故l1⊥l2.答案：C做一做2设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=()A.2B.-5C.4D.-2解析：因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.答案：B 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若两直线方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.()(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.()(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.()(4)确定直线的方向向量,可以用空间一个基底表示,也可以建立空间直角坐标系,写出方向向量的坐标.()(5)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.()×√×√√ 探究一探究二探究三探究一利用向量方法证明线线垂直【例1】如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.分析：只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可. 探究一探究二探究三证明：(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F. 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.证明：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0), 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三探究二利用向量方法证明线面垂直【例2】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.分析：一种思路是不建系,利用基向量法证明与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后说明与法向量共线,从而证得结论. 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三(方法2)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 探究一探究二探究三(方法3)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三变式训练2导学号03290070如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC. 探究一探究二探究三证明：因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 探究一探究二探究三探究三利用向量方法证明面面垂直【例3】如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求证:平面ADE⊥平面ABE.分析：建立空间直角坐标系,求出平面ADE和平面ABE的法向量,然后通过证明两个法向量垂直即可证得两个平面垂直. 探究一探究二探究三证明：取BE的中点O,连接OC,又AB⊥平面BCE,所以以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示). 探究一探究二探究三又AB⊥平面BCE,OC⊂平面BCE,所以AB⊥OC.因为BE⊥OC,AB∩BE=B,所以OC⊥平面ABE.所以平面ABE的法向量可取为m=(1,0,0).因为n·m=(0,1,-)·(1,0,0)=0,所以n⊥m,所以平面ADE⊥平面ABE. 探究一探究二探究三变式训练3导学号03290071在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,AA1=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明：由题意知直线AB,BC,B1B两两垂直,以B为原点,分别以BA,BC,BB1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 探究一探究二探究三 1.已知三条直线l1,l2,l3的一个方向向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c=(-3,12,-9),则()A.l1⊥l2,但l1与l3不垂直B.l1⊥l3,但l1与l2不垂直C.l2⊥l3,但l2与l1不垂直D.l1,l2,l3两两互相垂直解析：因为a·b=(4,-1,0)·(1,4,5)=4-4+0=0,a·c=(4,-1,0)·(-3,12,-9)=-12-12=-24≠0,b·c=(1,4,5)·(-3,12,-9)=-3+48-45=0,所以a⊥b,a与c不垂直,b⊥c.即l1⊥l2,l2⊥l3,但l1不垂直于l3.答案：A 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则()A.平面AED∥平面A1FD1B.平面AED⊥平面A1FD1C.平面AED与平面A1FD相交但不垂直D.以上都不对解析：以D为原点,分别为x,y,z建立空间直角坐标系,求出平面AED的法向量n1与平面A1FD1的法向量n2.因为n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.答案：B 3.若直线l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),则直线l与β的位置关系是.解析：因为a∥b,所以l⊥β.答案：l⊥β 4.在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.证明：建立空间直角坐标系,如图,取A(0,0,a),则易得