人教A版选修2-2课件1.3.3 函数的最大（小）值与导数

1.3.3函数的最大(小)值与导数 1.理解最值的概念,了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 1.如何理解函数的极值和最值?剖析:(1)π极值反映的是函数在某一点附近的局部性质:如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点,那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值;最值反映的是函数在整个定义域内的性质:如果x0是函数y=f(x)的最大(小)值点,那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在定义域内的所有函数值.(2)函数在一个闭区间上若存在最值,则最大(小)值只能有一个;而极大(小)值可能不止一个,也可能没有.如常数函数没有极值.(3)函数的极值点不可能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点.(4)在区间I上,函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线.若函数f(x)在区间I上只有一个极值,且是极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值. 2.函数y=f(x)在区间(a,b)内的最值情况如何?剖析:在区间(a,b)内,当函数f(x)的图象是一条连续的曲线时,f(x)在(a,b)内不一定有最值.常见的有以下几种情况:如图,图①中的函数y=f(x)在(a,b)内有最大值而无最小值;图②中的函数y=f(x)在(a,b)内有最小值而无最大值;图③中的函数y=f(x)在(a,b)内既无最大值也无最小值;图④中的函数y=f(x)在(a,b)内既有最大值也有最小值. 题型一题型二题型三题型四求函数的最值【例1】求下列函数的最值:(1)f(x)=2x3-12x,x∈[-1,3];分析:求f'(x)→令f'(x)=0得到相应的x的值→划分区间→列表→观察在相应区间内的单调性→确定极值点→求极值与端点值并比较大小→确定最值 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四反思求解函数在固定区间上的最值,在熟练掌握求解步骤的基础上,还需注意以下几点:(1)对函数进行准确求导;(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值;(3)在比较极值与端点函数值的大小时,有时需要利用作差或作商,甚至需要分类讨论. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四由函数的最值求参数的值【例2】已知f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.分析:解答本题可先求f'(x),然后确定f(x)在[-1,2]上的单调性及最值,最后建立方程组求a,b. 题型一题型二题型三题型四解:存在.显然a≠0,f'(x)=3ax2-12ax.令f'(x)=0,得x=0或x=4(舍去).当a>0,且x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=0时,f(x)取极大值,f(0)=b.又f(2)=b-16a,f(-1)=b-7a,由于a>0,所以f(0)>f(-1)>f(2),所以当x=0时,f(x)取最大值,即b=3;当x=2时,f(x)取最小值,即f(2)=3-16a=-29,所以a=2. 题型一题型二题型三题型四当a0)恒成立,只需-3-c≥-2c2即可. 题型一题型二题型三题型四与函数最值有关的综合题分析:(1)利用导数求h(x)的最小值,注意对参数a进行分类讨论;(2)转化为求φ(a)的最大值即可. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四反思在本例第(2)小题中,将证明不等式成立问题转化为研究一个函数的最大值问题,可以使问题变得容易. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四易错辨析 题型一题型二题型三题型四错因分析:错解中出错的主要原因是误认为极值就是最值,其实极值与最值是两个不同的概念.函数可能有多个极值,对于连续函数在闭区间上的最大值与最小值只能各有一个,只有当在一个区间上的极值只有一个时,这个区间上对应的极值才是最值. 题型一题型二题型三题型四