人教A版选修2-2课件2.3 数学归纳法

2.3数学归纳法 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1.如何理解数学归纳法?剖析:数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法,证明分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”.运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点:(1)两个步骤缺一不可.(2)在第一步中,n的初始值不一定从1开始,也不一定只取一个数(有时需取n=n0,n0+1等),证明时应视具体情况而定.(3)在第二步中,证明当n=k+1命题成立时,必须使用假设,否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效.(4)证明当n=k+1命题成立时,要明确求证的目标形式,一般要凑出假设里给出的形式,以便使用假设,然后再去凑出当n=k+1时的结论,这样就能有效减少论证的盲目性. 2.运用数学归纳法要注意哪些?剖析:正确运用数学归纳法应注意以下几点:(1)找准起点.数学归纳法的第一个步骤是要找一个数n0,这个n0就是我们要证明的命题对象的最小正整数,这个正整数并不一定都是“1”,因此“找准起点”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.(2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,所以从“n=k”到“n=k+1”的过程,必须把归纳假设“n=k”命题成立作为条件来导出“n=k+1”时命题成立.在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次. (3)正确寻求递推关系.我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求递推关系呢?①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的.②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在哪个位置.③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚. 题型一题型二题型三题型四用数学归纳法证明等式分析:第一步先验证等式成立的第一个值n0;第二步在假设n=k等式成立的基础上,等式左边加上n=k+1时新增的项,整理出等式右边的项. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四用数学归纳法证明不等式分析:求f'(x)→得到式子an+1≥(an+1)2-1→利用数学归纳法证明an≥2n-1(n∈N*) 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四用数学归纳法证明几何问题【例3】有n个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分.分析:解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设.证明:(1)当n=1时,圆把平面分为两部分,即f(1)=2,命题成立;(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2部分,则当n=k+1时,依题意知第(k+1)个圆与前k个圆产生2k个交点,第(k+1)个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分,所以平面上增加了2k个区域.所以f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1时命题成立.由(1)(2)知命题成立. 题型一题型二题型三题型四反思用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成(k+1)个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四