人教A版选修2-3课件3.1 回归分析的基本思想及其初步应用

第三章 统计案例 3.1回归分析的基本思想及其初步应用 1.回归分析(1)函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系.(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 做一做如果记录了x,y的几组数据分别为(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),那么y关于x的线性回归直线必过点()A.(2,2)B.(1.5,2)C.(1,2)D.(1.5,4)解析：∴样本点的中心为(1.5,4),而回归直线过样本点的中心.答案：D 2.随机误差(1)随机误差的均值E(e)=0,方差D(e)=σ2>0.(2)线性回归模型的完整表达式为在线性回归模型中,随机误差e的方差σ2越小,用bx+a预报真实值y的精度越高.(3)对于样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)而言,它们的随机误差为ei=yi-bxi-a,i=1,2,…,n,其估计值为称为相应于点(xi,yi)的残差. (4)以样本编号为横坐标,残差为纵坐标作出的图形称为残差图.(5)我们可以用R2来刻画回归的效果,其计算公式是.(6)R2越大,意味着残差平方和越小,也就是说,模型的拟合效果越好. 3.建立回归模型的基本步骤(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.(2)画出解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).(3)由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数.(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大,残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等. 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)圆的面积和圆的直径之间是相关关系.()(2)残差平方和越小,模型拟合效果越好.()(3)在所有样本点中,总有一个点在回归直线上.()(4)在调查小学生身高的过程中,发现年龄与身高具有相关关系.()×√×√ 探究一探究二探究三思想方法探究一求线性回归方程【例1】导学号78430076某商场经营一批进价是30元/件的小商品,在市场试验中发现,此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系:(1)y与x是否具有线性相关关系?如果具有线性相关关系,求出回归直线方程.(方程的斜率精确到1)(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据(1)写出P关于x的函数关系式,并预报当销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润. 探究一探究二探究三思想方法解：(1)散点图如图所示,从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近,因此两个变量线性相关. 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法变式训练1某班5名学生的数学成绩和物理成绩如下表:(1)画出散点图;(2)求物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程;(3)一名学生的数学成绩是96,试预报他的物理成绩.(精确到1分) 探究一探究二探究三思想方法解：(1)散点图如图. 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法探究二线性回归分析：【例2】导学号78430077某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下:(1)作出散点图;(2)求出回归方程;(3)作出残差图;(4)计算R2,并说明运动员的训练次数对成绩的影响占百分之几. 探究一探究二探究三思想方法解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图,如图所示,由散点图可知,它们之间具有线性相关关系. 探究一探究二探究三思想方法(3)某运动员训练次数与成绩之间的数据及相应的残差数据为作残差图如图所示. 探究一探究二探究三思想方法由图可知,残差点比较均匀地分布在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适.(4)计算得R2≈0.9855,说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的. 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法变式训练2在一段时间内,某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为且知x与y具有线性相关关系,求出y对x的回归直线方程,并用R2说明拟合效果的好坏. 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法列出下表: 探究一探究二探究三思想方法探究三求非线性回归方程【例3】某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示:由经验知,年次x与利润总额y(单位:亿元)近似有如下关系:y=abxe0.其中a,b均为正数,求y关于x的回归方程.分析：解答此题可根据散点图选择恰当的拟合函数,而本题已经给出,只需将其转化为线性函数,利用最小二乘法求得回归直线方程,再将其还原为非线性回归方程即可. 探究一探究二探究三思想方法解：对y=abxe0两边取自然对数,得lny=lnae0+xlnb,令z=lny,则z与x的数据如下表:由z=lnae0+xlnb及最小二乘法公式,得lnb≈0.0477,lnae0≈2.378, 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法变式训练3若将函数y=axb转化为线性函数u=c+bv,则所作的变换为()A.u=lny,v=lna,c=lnxB.u=lnx,v=lny,c=lnaC.u=lna,v=lnx,c=lnyD.u=lny,v=lnx,c=lna解析：对y=axb两边取自然对数,得lny=lna+blnx,令u=lny,v=lnx,c=lna,得u=c+bv.故选D.答案：D 探究一探究二探究三思想方法方法优化——求回归直线方程的方法和技巧典例某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2017年的粮食需求量.【教你审题】分别计算,把2017代入所求回归直线方程中. 探究一探究二探究三思想方法【优美解法】解：(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来求回归直线方程,先将数据处理如下: 探究一探究二探究三思想方法(2)利用所求得的回归直线方程,可预测2017年的粮食需求量为6.5×(2017-2011)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨). 探究一探究二探究三思想方法变式训练某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,根据试验数据得到如图所示的散点图,其中x表示零件的个数,y表示加工时间,则y关于x的线性回归方程是. 探究一探究二探究三思想方法 A.可以大于0B.大于0C.能等于0D.只能小于0解析：两个变量具有相关性,但不确定是正相关还是负相关.故选A.答案：A 2.已知甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时,分别选择了4种不同模型,计算它们的R2分别如下表:则建立的回归模型拟合效果最好的是()A.甲B.乙C.丙D.丁解析：由于R2的值越大,回归模型拟合效果越好,故甲的拟合效果最好.答案：A 3.关于点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程为()解析：根据点(3,10),(7,20),(11,24)的坐标可得y随x的增大而增大,故x,y之间应该是正相关的关系,故回归系数b为正值,故可排除C,D.答案：B 4.如图所示有5组数据,去掉点后,剩下的4组数据的线性相关性更强.答案：D 5.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元)的情况,调查结果显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y关于x的回归直线方程为=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加万元.解析：设年收入为x1万元,对应的年饮食支出为y1万元,家庭年收入每增加1万元,则年饮食支出平均增加答案：0.254