人教A版选修4-1课件1.3.1 相似三角形的判定

三相似三角形的判定及性质 1.相似三角形的判定 1.了解三角形相似的定义,掌握相似三角形的判定定理以及直角三角形相似的判定方法.2.会证明三角形相似,并能解决有关问题. 同一法证明几何问题剖析:当直接证明一个几何问题比较困难时,往往采用间接证明的方法.“同一法”就是一种间接证明的方法.应用同一法证明问题时,往往首先作出一个满足命题结论的图形,然后证明图形符合命题的已知条件,确定所作图形与题设条件所指的图形相同,从而证明命题成立.例如,如图,已知PQ,TR为☉O的切线,P,R为切点,PQ∥RT,证明PR为☉O的直径. 证明:如图,延长PO交RT于点R',∵PO⊥PQ,∴PR'⊥PQ.∵PQ∥RT,∴PR'⊥RT,即OR'⊥RT.又∵TR为☉O的切线,R为切点,∴OR⊥RT,∴点R'与点R重合,∴PR为☉O的直径.由上例可以看出,同一法证明几何问题的步骤如下:(1)首先作出一个符合结论的图形,然后推证出所作的图形符合已知条件;(2)根据唯一性,证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的;(3)说明已知图形符合结论. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四反思1.本题中,∠DAB与∠EAC的相等关系不易直接找到,这里用∠BAC=∠EAD,在∠BAC和∠EAD中分别减去同一个角∠DAC,间接证明∠DAB=∠EAC.2.判定两个三角形相似时,关键是分析已知哪些边对应成比例,哪些角对应相等,根据三角形相似的判定定理,找到符合定理的条件就能推导出结论. 题型一题型二题型三题型四【变式训练1】如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:△ABD∽△ACE.证明:∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE.又∵∠3=∠4,∴△ABC∽△ADE.又∵∠1=∠2,∴△ABD∽△ACE. 题型一题型二题型三题型四【例2】如图,已知在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:△ADQ∽△QCP. 题型一题型二题型三题型四反思直角三角形相似的判定方法很多,既可根据一般三角形相似的判定方法判定,又有其特有的判定方法.在求证、识别的过程中,可由已知条件结合图形特征确定合适的方法. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四分析:所要证明的等式中的四条线段AB,AC,CD,BC分别在△ABC和△BCD中,但这两个三角形不相似,由题意可得BD=CD,这样AB,AC,BD,BC分别在△ABC和△ABD中,只需证明这两个三角形相似即可. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四反思证明线段成比例,常先把等式中的四条线段分别看成两个三角形的两条边,再证明这两个三角形相似即可,若这四条线段不能分别看成两个三角形的两边,则利用相等线段进行转化,如本题中把CD转化为BD. 题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E是AC的中点,连接ED,并延长与AB的延长线交于点F.求证:AB∶AC=DF∶AF.证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠C=∠BAD,Rt△ADB∽Rt△CAB,∴AB∶AC=BD∶AD.又∵E是AC的中点,∴AE=DE=EC,∴∠C=∠CDE.∴∠BAD=∠CDE=∠BDF.又∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD.∴BD∶AD=DF∶AF,即AB∶AC=DF∶AF. 题型一题型二题型三题型四【例4】如图,在△ABC中,D是BC的中点,M是AD上一点,BM,CM的延长线分别交AC,AB于F,E两点.求证:EF∥BC.分析:要证明EF∥BC,想通过角之间的关系达到目的显然是不可能的,而要利用成比例线段判定两条直线平行的判定定理,图中又没有平行条件,因此要设法作出平行线,以便利用判定定理.在作平行线时,要充分考虑到中点D的应用. 题型一题型二题型三题型四证明:(方法一)延长AD至点G,使DG=MD,连接BG,CG,如图.∵BD=DC,MD=DG,∴四边形BGCM为平行四边形.∴EC∥BG,FB∥CG.∴EF∥BC. 题型一题型二题型三题型四(方法二)过点A作BC的平行线,与BF,CE的延长线分别交于G,H两点,如图. 题型一题型二题型三题型四(方法三)过点M作BC的平行线,分别与AB,AC交于G,H两点,如图. 题型一题型二题型三题型四反思利用引理来证明两条直线平行的关键是证明其对应线段成比例,这样即可转化为证明线段成比例,其证明方法有:利用中间量,如本题证法一;转化为线段成比例,如本题证法二;既用中间量,又转化为线段成比例,如本题证法三. 题型一题型二题型三题型四【变式训练4】如图,已知点A,B,C在∠O的一边l上,点A',B',C'在另一边l'上,并且直线AB'∥BA',BC'∥CB'.求证:AC'∥CA'. 题型一题型二题型三题型四