人教A版选修4-1课件1.1 平行线等分线段定理

第一讲相似三角形的判定及有关性质 一 平行线等分线段定理 1.理解并掌握平行线等分线段定理及其推论,认识它的图形语言及变式图形.2.能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段,能运用推论进行简单的证明或计算.3.会用三角形中位线定理解决问题. 平行线等分线段定理的两个推论的证明剖析:(1)推论1,如图①,在△ABC中,B'为AB的中点,过点B'作B'C'∥BC交AC于点C',求证:点C'是AC的中点. 证明:如图②,过点A作直线a∥BC,∵BC∥B'C',∴a∥BC∥B'C'.∵AB'=BB',∴AC'=CC',即点C'是AC的中点.(2)推论2,如图③,已知在梯形ACC'A'中,AA'∥CC',B是AC的中点,过点B作BB'∥CC'交A'C'于点B',求证:点B'是A'C'的中点.证明:如图④,∵AA'∥CC',BB'∥CC',∴AA'∥BB'∥CC'.∵AB=BC,∴A'B'=B'C',即点B'是A'C'的中点. 题型一题型二题型三【例1】如图,已知线段AB,求作线段AB的五等分点,并予以证明.分析:利用平行线等分线段定理来作图.作法:如图,(1)作射线AC;(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5;(3)连接D5B;(4)分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分. 题型一题型二题型三证明:过点A作MN∥D5B.则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5.∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.∴点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点.反思将已知线段AB分成n等份的解题步骤如下:(1)作射线AC(与AB不共线);(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn;(3)连接DnB;(4)分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点A1,A2,…,An-2,An-1,则点A1,A2,…,An-2,An-1将线段AB分成n等份. 题型一题型二题型三【变式训练1】如图,已知线段AB,请用平行线等分线段定理将线段AB分成两部分,且两部分之比为2∶3.解:已知:线段AB.求作:线段AB上一点O,使AO∶OB=2∶3.作法:(1)如图,作射线AC.(2)在射线AC上以任意长顺次截取AD=DE=EF=FG=GH.(3)连接BH.(4)过点E作EO∥HB,交AB于点O,则点O为所求的点. 题型一题型二题型三【例2】如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,O是CD的中点.求证:OA=OB.分析:因为线段OA和OB有共同端点,所以只需证明点O在AB的垂直平分线上即可.证明:过点O作AB的垂线,垂足为E,如图.∵AC⊥AB,DB⊥AB,∴OE∥AC∥DB.∵O为CD的中点,∴E为AB的中点.又OE⊥AB,∴OA=OB.反思证明两线段相等,往往借助于平行线等分线段定理,转化为证明其他线段相等.这种等价转化的思想要认真领会使用. 题型一题型二题型三【变式训练2】如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,M是CD的中点.求证:AM=BM.证明:如图,过点M作ME∥BC交AB于点E,∵AD∥BC,∴AD∥EM∥BC.∵M是CD的中点,∴E是AB的中点.∵∠ABC=90°,∴∠MEA=∠MEB=90°,∴ME垂直平分AB.∴AM=BM. 题型一题型二题型三【例3】如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,E为AD的中点,EF∥BC.求证:BC=2EF.分析:由于EF∥BC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角形中位线定理,过点A作BC的平行线即可证明. 题型一题型二题型三证明:如图,过点A作BC的平行线AG,交DC于点G.∵AB∥DC,∴四边形ABCG是平行四边形.∴AG?BC.∵EF∥BC,∴EF∥AG.∵E为AD的中点,∴F是DG的中点.反思1.如果在三角形中出现中点,那么往往利用三角形中位线的性质来解决有关问题.2.本题也可用平行线等分线段定理来证明,过点E作DC的平行线即可. 题型一题型二题型三【变式训练3】求证:顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.证明:已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:连接AC.∵AH=HD,DG=GC,∴HG?EF.∴四边形EFGH是平行四边形.