人教A版选修4-1课件2.1 圆周角定理

第二讲直线与圆的位置关系 一 圆周角定理 1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题.2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题. 圆周角定理的理解剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下:圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立.(2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系,然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后得到:不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行讨论,后面还会遇到这种分情况证明的定理. (3)通过圆周角定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论问题时,常常从特殊情况入手,因为在特殊情况下问题往往容易解决.如图,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时∠AOB=2∠C很容易证明,特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图中的左图和右图的情况,通过辅助线,把它们变成中间图中的两个角的和或差,这样利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证. 题型一题型二题型三【例1】如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠BAC的平分线与BC边和☉O分别交于点D,E.(1)指出图中相似的三角形,并说明理由;(2)若EC=4,DE=2,求AD的长.分析:(1)本题证明两个三角形相似,要用三角形相似的判定定理,而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度,先由三角形相似得线段成比例,再求其长度. 题型一题型二题型三解:(1)∵AE平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAC.又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC.∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE,∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED.(2)∵△CED∽△AEC,∴CE2=ED·AE,∴16=2AE,∴AE=8.∴AD=AE-DE=6.反思求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长. 题型一题型二题型三 证明:∵BC是☉O的直径,∴∠BAC为直角.又∵AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD=∠ACB.∴∠BAD=∠FBA.∴△ABE为等腰三角形.∴AE=BE.题型一题型二题型三 题型一题型二题型三反思1.有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲证明圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等;要证明线段相等也可以转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中线段相等的常见策略.2.若已知条件中出现直径,则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题. 题型一题型二题型三【变式训练2】如图,△ABC内接于☉O,D,E在BC边上,且BD=CE,∠1=∠2.求证:AB=AC. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错【例3】如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=.错解:∵∠BAD和∠BCD所对的弦都是BD,∴∠BAD=∠BCD.∴∠BCD=75°.错因分析:错解中,没有注意到圆周角∠BAD和∠BCD所对的弧不相等,导致得到错误的结论∠BAD=∠BCD. 题型一题型二题型三答案:105°反思同弦或等弦所对的圆周角不一定相等.当弦是直径时,同弦或等弦所对的圆周角相等,都等于90°;当弦不是直径时,该弦将圆周分成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等,它们互补(如本题).