人教A版选修4-1课件3.1 平行射影

第三讲圆锥曲线性质的探讨 一 平行射影 1.掌握正射影的概念,理解平行射影的概念,能确定平行射影的形状.2.掌握椭圆的定义,知道椭圆是圆柱的一种截面. 1.平行射影与正射影的区别与联系剖析:对于平行射影,取不同的投影方向,同一个图形的平行射影也有所不同,正射影就是平行射影中投影方向与平面垂直时的一种特殊情况.因而我们可以从两个不同的角度加以考虑,并且要注意这二者的区别与联系,从而完整、全面地看待问题.例如,如图,直线l与平面α所成的角是45°,交点为A.在l上取不同于点A的一点B,过点B作BC⊥α,垂足为C.则l在平面α上的正射影是直线AC.当投影方向与l相同时,l在平面α上的平行射影是一个点,即点A;当投影方向垂直于平面α时,l在平面α上的平行射影是直线AC,此时平行射影和正射影是相同的. 2.点的射影与图形的射影的区别与联系剖析:图形是由点组成的集合,因而图形的射影是被投影图形上各点在平面α上的射影的集合,所以,要找到一个图形的射影只需找到组成这个图形的关键点的射影即可. 题型一题型二题型三【例1】下列说法正确的是()A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影B.投影线与投影平面有且只有一个交点C.投影方向可以平行于投影平面D.一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的解析:正射影是平行射影的特例,本质是相同的,故选项A错误;投影线与投影平面只能相交,选项B是正确的,选项C是错误的;一个图形在一个平面上的平行射影与投影方向有关,方向改变了,就可能得到不同的平行射影,故选项D错误.答案:B反思图形的平行射影与两个因素有关:一个是投影方向,一个是投影平面.正确理解平行射影的有关概念,是解决平行射影问题的关键. 题型一题型二题型三【变式训练1】如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形,则下列结论正确的是()A.内心的平行射影还是内心B.重心的平行射影还是重心C.垂心的平行射影还是垂心D.外心的平行射影还是外心解析:当三角形的平行射影仍是三角形时,其在投影平面上的三角形的形状可能会发生变化,此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化,其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点会随着发生变化,而中位线上三等分点的等分比例性质不变,内心射影前后相对的位置关系不变.答案:A 题型一题型二题型三【例2】如图,点E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是.(要求:把可能的图的序号都填上) 题型一题型二题型三解析:对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到,并且对于图形要考虑所有点的正射影,又知线段由两个端点唯一确定,故考查四边形BFD1E的射影,只需同时考查点B,F,D1,E在各个面上的正射影即可.四边形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均为图②;四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均为图③.答案:②③反思判断平行射影的形状时,常常先确定图形中各顶点的射影,再依次连接各顶点的射影即可;同一图形在平行平面上的平行射影是相同的. 题型一题型二题型三【变式训练2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,D1C1的中点,G是正方形BCC1B1的中心,画出空间四边形AEFG在该正方体的面DCC1D1上的正投影. 题型一题型二题型三解:如图①,点A落在D点上,点G落在CC1的中点G'上,点F在面DCC1D1上的正射影仍为点F,点E落在DD1的中点E'上,所以其正投影如图②所示. 题型一题型二题型三易错点:不能准确理解平行射影的概念而致错【例3】线段AB,CD在同一平面内的正射影相等,则线段AB,CD的长度关系为()A.AB>CDB.AB