人教A版选修4-2课件4.2 特征向量的应用

二特征向量的应用 1.利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα的简单的表示,并能用它来解决问题.2.会利用特征向量解决简单的实际问题. 1.设二阶矩阵A的两个特征值λ1,λ2对应的两个特征向量分别为ξ1,ξ2,σ为二阶矩阵A对应的线性变换,α为平面内的任意一个向量,那么Anα(n∈N*)能否用ξ1和ξ2表示出来呢?剖析:因为ξ1,ξ2是二阶矩阵A的两个特征向量,所以ξ1,ξ2不共线,则平面内的任意一个向量α就可以用ξ1,ξ2表示出来,即存在实数t1,t2使得α=t1ξ1+t2ξ2,Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ2ξ2.所以σα=Aα=A(t1ξ1+t2ξ2)=t1(Aξ1)+t2(Aξ2)=t1λ1ξ1+t2λ2ξ2,σ2α=A2α=A(Aα)=A(t1λ1ξ1+t2λ2ξ2)=t1λ1(Aξ1)+t2λ2(Aξ2) 2.求Anα的基本步骤是什么?剖析:第一步:由特征向量的定义Aξ=λξ,求出特征值λ和相应的特征向量ξ;第二步:把向量α改写为用ξ1和ξ2表示,即α=t1ξ1+t2ξ2;第三步:由性质公式计算 题型一题型二 题型一题型二 题型一题型二反思利用特征值和特征向量的知识,可以方便地计算多次变换的结果. 题型一题型二【例2】当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍;(3)第n年时,兔子数量用Rn表示,狐狸数量用Fn表示;(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有R0=100只,狐狸数量有F0=30只.这样,兔子和狐狸的生态模型为试用矩阵知识求出Rn,Fn关于n的关系式,并讨论当n越来越大时,兔子和狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态? 题型一题型二分析:根据已知条件首先要转化为向量表示及其矩阵形式表示,其次求出矩阵的特征值及其特征向量,最后解答. 题型一题型二和Fn分别趋向常量210和140,即随着时间的增加,兔子和狐狸的数量逐渐增加,当时间充分长后,兔子和狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态. 题型一题型二反思解决实际问题时,需要先从题目中提炼出信息,本题转为矩阵表示,用矩阵及特征向量表示解答问题.