人教A版选修4-4课件1.3 简单曲线的极坐标方程

三 简单曲线的极坐标方程 121.圆的极坐标方程(1)曲线C的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.名师点拨(1)平面上点的极坐标的表示形式不唯一.(2)我们遇到的极坐标方程多是ρ=ρ(θ)的形式,即ρ为θ的一个函数.(3)由极坐标系中点的对称性可以得到极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形的对称性:若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于过极点且垂直于极轴的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点O对称.(2)圆经过极点O,圆心坐标是C(a,0)(a>0),则圆的极坐标方程是ρ=2acosθ. 12做一做1极坐标方程ρ=1表示的曲线是()A.直线B.射线C.圆D.椭圆答案:C 122.直线的极坐标方程直线l经过极点,极轴与直线l所成的角是α,则直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).名师点拨求平面曲线的极坐标方程,就是要找极径ρ和极角θ之间的关系,常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识、利用三角形的面积相等来建立ρ,θ之间的关系. 12 探究一探究二探究三探究四探究一圆的极坐标方程在求曲线的极坐标方程时,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,将它用坐标表示,然后化简,最后求出ρ与θ的函数关系,即为要求的极坐标方程. 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四?变式训练1?从极点O作圆C:ρ=8cosθ的弦ON,求弦ON的中点M的轨迹方程并把它化为直角坐标方程.解:方法一:如图,圆C的圆心C(4,0),半径r=|OC|=4,连接CM.∵M为弦ON的中点,∴CM⊥ON.故点M在以OC为直径的圆上(除去极点).∴动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ(ρ≠0).∵ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4.故(x-2)2+y2=4(x≠0,且y≠0)为所求的直角坐标方程. 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四探究二直线的极坐标方程在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般方法是:在直线上任取一点M(ρ,θ),连接OM,构造出含有OM的三角形,再利用三角形知识求|OM|,即把|OM|用θ表示,这就是我们所要求的ρ与θ之间的关系,即为直线的极坐标方程,也可以先求出直角坐标方程,再化为极坐标方程. 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四探究三直角坐标方程与极坐标方程的互化将极坐标方程化为直角坐标方程的方法有:①直接利用公式;②两边同乘ρ;③两边同时平方等.将直角坐标方程化为极坐标方程时,直接用公式代入化简即可. 探究一探究二探究三探究四典例提升3把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化:(1)x2+(y-3)2=9;(2)ρ=9(sinθ+cosθ);(3)ρ=4;(4)2ρcosθ-3ρsinθ=5.思路分析:利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化. 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四点评化曲线的直角坐标方程f(x,y)=0为极坐标方程f(ρ,θ)=0,只要将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入到方程f(x,y)=0中即可.将直角坐标方程化为极坐标方程时,如果不加特殊说明,就认为ρ≥0.例如将x2+y2=25化为极坐标方程,有ρ=5和ρ=-5两种情况,由于ρ≥0,所以只取ρ=5.事实上,这两个方程都表示以极点为圆心,5为半径的圆. 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 1.在极坐标系中,点A(1,π)到直线ρcosθ=2的距离是()A.1B.2C.3D.4解析:点A(1,π)化为直角坐标为(-1,0),直线ρcosθ=2化为直角坐标方程为x=2.因为点A(-1,0)到直线x=2的距离为3,所以点A(1,π)到直线ρcosθ=2的距离为3.答案:C