人教A版选修4-5课件1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式

3.三个正数的算术-几何平均不等式 1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题. 1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件“二定”:包含两类求最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即a1+a2+…+an为定值),求其积a1a2…an的最大值;二是已知乘积a1a2…an为定值,求其和a1+a2+…+an的最小值.“三相等”:取等号的条件是a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一部分相等.不等式a2+b2≥2ab与a3+b3+c3≥3abc的运用条件不一样,前者要求a,b∈R,后者要求a,b,c∈R+.要注意区别. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四反思式子拼凑,以便能利用算术-几何平均不等式求最值,是必须掌握的一种解题方法,但拼凑要合理,且要符合适用的条件,对于本题,有的学生可能这样去拼凑:虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值,但忽略了取等号的条件,显然x=2-2x=1+x无解,即无法取等号,也就是说,这种拼凑法是不正确的.这就要求平时多积累一些拼凑方法,同时注意算术-几何平均不等式的使用条件,三个缺一不可. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四分析:先观察求证式子的结构,再通过变形转化为用算术-几何平均不等式证明. 题型一题型二题型三题型四反思三个正数的算术-几何平均不等式定理,是根据不等式的意义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明的不等式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用该定理会更简便.若不直接具备“一正二定三相等”的条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明.连续多次使用算术-几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四【例3】如图,在一张半径是2m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知,桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比,即k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮? 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四反思处理此类求最值的实际问题,应正确找到各变量之间的关系,建立适当的函数解析式,把问题转化为求函数的最值问题,并将关系式配凑成可以用算术-几何平均不等式的形式,若符合条件“一正二定三相等”即可直接求解. 题型一题型二题型三题型四【变式训练3】设圆锥的母线长为1,试问圆锥的底面半径为多少时,圆锥的体积最大? 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四