人教A版选修4-5课件2.1 比较法

第二讲证明不等式的基本方法 一 比较法 1.理解作差比较法和作商比较法.2.用比较法证明不等式. 1.作差比较法证明不等式的一般步骤剖析:(1)作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差.(2)变形:将差式进行变形,变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方和等.(3)判断符号:根据已知条件与上述变形结果,判断差的正负号.(4)结论:根据差的正负号下结论.知识拓展若差式的符号不能确定,一般是与某些字母的取值有关时,则需对这些字母进行讨论. 2.作商比较法中的符号问题的确定名师点拨使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值,若均为负值时,可先同乘-1,转化后再进行证明. 题型一题型二题型三分析:因不等式的两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用作差比较法进行证明. 题型一题型二题型三反思根据左、右两边都含无理式的特点,也可以采取两边平方的方法来比较,但是应先判断不等式两边的符号,当不等式两边的符号都大于0时,两边平方是等价变形,当不等式两边的符号都小于0时,两边平方后要改变不等号的方向. 题型一题型二题型三分析:将商的对数化成对数的差,就是“化整为零”,有利于符号的确定. 题型一题型二题型三分析:因为a,b均为正数,故而不等式左边和右边都是正数,所以可以用作商比较法进行比较. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三【变式训练2】已知a,b,c为正数,求证:a2ab2bc2c≥ab+cba+cca+b. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三【例3】已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+).(1)证明:数列{an+1}是等比数列;(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1),并比较2f'(1)与23n2-13n的大小. 题型一题型二题型三(1)证明:由已知Sn+1=2Sn+n+5,①∴当n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,②①②两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1).当n=1时,S2=2S1+1+5,∴a1+a2=2a1+6.又a1=5,故a2=11,从而a2+1=2(a1+1).故总有an+1+1=2(an+1),n∈N+.即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列. 题型一题型二题型三(2)解:由(1)可知an=3×2n-1.∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,∴f'(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.从而f'(1)=a1+2a2+…+nan=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+3+…+n) 题型一题型二题型三则2f'(1)-(23n2-13n)=12(n-1)·2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)[2n-(2n+1)].(*)当n=1时,(*)式=0,∴2f'(1)=23n2-13n;当n=2时,(*)式=-1223n2-13n. 题型一题型二题型三反思此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题.在数列中,大小问题可能会随“n”的变化而变化.往往n=1,2,…,前几个自然数对应的值与后面n≥n0的值大小不一样,这就要求在解答这样的题时,要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头,即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三(1)解:由已知得an+1=an+1,即an+1-an=1.又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.故an=1+(n-1)×1=n.(2)证明:由(1)知an=n,从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1