人教A版选修4-5课件4.2 用数学归纳法证明不等式举例

二用数学归纳法证明不等式举例 1.通过教材掌握几个有关正整数n的结论.2.会用数学归纳法证明不等式. 1.观察、归纳、猜想、证明的方法剖析:这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题,命题的成立不成立都预先需要归纳与探索,而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手,得到一个结论,但这个结论不一定正确,因为这是靠不完全归纳法得出的,因此,需要给出一定的逻辑证明,所以,通过观察、分析、归纳、猜想,探索一般规律,其关键在于正确的归纳猜想,如果归纳不出正确的结论,那么数学归纳法的证明也就无法进行了.在观察与归纳时,n的取值不能太少,否则将得出错误的结论.前几项的关系可能只是特殊情况,不具有一般性,因而,要从多个特殊事例上探索一般结论. 2.从“n=k”到“n=k+1”的方法与技巧剖析:在用数学归纳法证明不等式问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构. 题型一题型二题型三题型四分析:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明. 题型一题型二题型三题型四当n=1时,21=2>12=1,当n=2时,22=4=22,当n=3时,23=852=25,当n=6时,26=64>62=36.故猜测当n≥5(n∈N+)时,2n>n2, 题型一题型二题型三题型四下面用数学归纳法加以证明.(1)当n=5时,2n>n2显然成立.(2)假设当n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2n>n2成立,即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时,2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2(因为(k-1)2>2).由(1)(2)可知,对一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立.综上所述, 题型一题型二题型三题型四反思利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向.再用数学归纳法证明结论成立. 题型一题型二题型三题型四(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由;(2)设数列{an}(n∈N+)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的n∈N+,都有an≤M. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2…anQn.②若x=0,则Pn=Qn.③若x∈(-1,0),则P3-Q3=x3