人教A版选修4-5课件3.1 二维形式的柯西不等式

第三讲柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式 1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题. 1.对柯西不等式的理解剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因此,二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系,或构造成一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造的,但怎样构造要仔细体会.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合、联系,要有一定的认识.2.柯西不等式取等号的条件剖析:柯西不等式取等号的条件不易记住,我们可以多方面联系来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取等号的条件是“ad=bc”,有点像a,b,c,d成等比时,ad=bc;柯西不等式的向量形式中|α·β|≤|α||β|,取等号的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆. 题型一题型二题型三【例1】设a,b∈R,且a2+b2=10,求3a+b的最大值与最小值.解:利用柯西不等式得(3a+b)2=(a·3+b·1)2≤(a2+b2)(32+12)=10×10=100,即(3a+b)2≤100,∴|3a+b|≤10,-10≤3a+b≤10,当且仅当a=3b时,等号成立.又a2+b2=10,∴a2=9,b2=1.∴当a=-3,b=-1时,3a+b有最小值-10;当a=3,b=1时,3a+b有最大值10. 题型一题型二题型三【变式训练1】已知2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三反思利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式做适当的变形.这种变形技巧往往要求很高,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三错因分析:二维柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,等号成立的条件是ad=bc.因此在解题时,对照柯西不等式,必须弄清楚柯西不等式中的“a,b,c,d”分别相当于问题中的哪个数或代数式,否则容易写错等号成立的条件. 题型一题型二题型三