新教材人教B 版高中数学必修第一册教案教学设计（讲义）

新教材人教 B 版高中数学必修第一册教案教学设计（讲义） 第 1 课时 集合的表示方法 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握集合的两种表示方法．(重点) 2．掌握区间的概念及表示方法．(重 点) 1.借助空集，区间的概念，培养数学抽象的素养． 2．通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的素 养. 1．集合的表示方法 (1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内， 以此来表示集合的方法叫做列举法． 思考 1：观察下列集合： (1)中国古代四大发明组成的集合； (2)20 的所有正因数组成的集合． 问题 1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？ 提示：能．(1)中的元素为：造纸术、印刷术、指南针、火药；(2)中的元素为： 1,2,4,5,10,20. 问题 2：如何表示上述两个集合？ 提示：用列举法表示． (2)描述法：一般地，如果属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x)，而不属于集合 A 的元素都不具有这个性质，则性质 p(x)称为集合 A 的一个特征性质．此时，集合 A 可以用它 的特征性质 p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述 法． 思考 2：观察下列集合： (1)不等式 x－2≥3 的解集； (2)函数 y＝x2－1 的图像上的所有点． 问题 1：这两个集合能用列举法表示吗？ 提示：不能． 问题 2：如何表示这两个集合？ 提示：利用描述法． 2．区间的概念 设 a，b 是两个实数，且 a＜b： (1)集合{x|a≤x≤b}可简写为[a，b]，并称为闭区间； (2)集合{x|a＜x＜b}可简写为(a，b)，并称为开区间； (3)集合{x|a≤x＜b}可简写为[a，b)，集合{x|a＜x≤b}可简写为(a，b]，并都称为半开半闭 区间； (4)用“＋∞”表示正无穷大，用“－∞”表示负无穷大，实数集 R 可以用区间表示为(－ ∞，＋∞)； (5)满足不等式 x≥a，x＞a 和 x≤b，x＜b 的实数 x 的集 合用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)． 1．下列判断错误的是(  ) A．方程 x2＝9 的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示 B．不大于 2 020 的自然数构成的集合是无限集 C．集合 A＝Error!是空集 D．{x︱x2 ＝0}＝{0} B [A.正确；方程 x2＝9 的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示，即 A＝{x|x2＝ 9}＝{－3,3}． B．错误；因为不大于 2 020 的自然数依次为 0,1,2，…，2 020，共有 2 021 个，所以构 成的集合是有限集． C．正确；因为 0 的倒数不存在，任何非零实数的倒数都不是 0，所以集合 A＝Error!是 空集． D．正确，x2 ＝0，可得 x＝0，故选 B.] 2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为(  ) A．{x＝1，x＝2}     B．{x|x＝1，x＝2} C．{ x2－3x＋2＝0} D．{1,2} D [解方程 x2－3x＋2＝0 可得 x＝1 或 x＝2， 故集 合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．] 3．用区间表示下列数集． (1){x|x≥2}＝________；(2){x|3＜x≤4}＝________. [答案] [2，＋∞) (2)(3,4] 4．用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． [解] (1)偶数可用式子 x＝2n(n∈Z)表示，但此题要求为正偶数，故限定 n∈N*，所以正 偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}． (2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐 标中至少有一个为 0，即 xy＝0，故坐标轴上的 点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}. 用列举法表示集合 【例 1】 (1)若集合 A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合 A 中元素的个数是(  ) A．1    B．2    C．3    D．4 (2)用列举法表示下列集合． ①不大于 10 的非负偶数组成的集合； ②方程 x2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合； ④方程组Error!的解． (1)B [集合 A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．选 B.] (2)[解] ①因为不大于 10 是指小于或等于 10，非负是大于或等于 0 的意思，所以不大于 10 的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}． ②方程 x2＝x 的解是 x＝0 或 x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}． ③将 x＝0 代入 y＝2x＋1，得 y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是 {(0,1)}． ④解方程组Error!得Error! ∴用列举法表示方程组Error!的解集为{(0,1)}． 用列举法表示集合的步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用大括号括起来. 1．已知集合 A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意 a∈A，有|a|∈B，且 B 中只有 4 个元素，求 集合 B. [解] 对任意 a∈A，有|a|∈B，因为集合 A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A， 知 0,1,2,3∈B. 又因为 B 中只有 4 个元素，所以 B＝{0,1,2,3}． 用描述法表示集合 【例 2】 试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程 x2－2＝0 的所有实数根组成的集合； (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合． [解] (1)设方程 x2－2＝0 的实数根为 x，并且满足条件 x2－2＝0，因此，用描述法表示 为 A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程 x2－2＝0 有两个实数根 2，－ 2，因此，用列举法表示为 A＝ { 2，－ 2}． (2)设大于 10 小于 20 的整数为 x，它满足条件 x∈Z，且 10f＋bc， ∴e－bc>f－ac， ∴f－ac