天添资源网 http://www.ttzyw.com/
预习课本P60～64，思考并完成以下问题
(1)如何利用数据建立拟合三角函数模型？
(2)解三角函数应用题的解题步骤是什么？
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A． B．100
C． D．50
答案：C
2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70 C．80 D．90
答案：C
3．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝时，电流I为________．
答案：
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
三角函数在物理中的应用
[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解] 列表如下，
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，
所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
[活学活用]
交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解：(1)当t＝0时，E＝110(V)，
即开始时的电压为110 V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V，
当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值.
三角函数在实际生活中的应用
[典例] 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式；
(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？
(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，并求出最大值．
[解] (1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt(t≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝，即ω＝.
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)令y＝40.5－40cos t＝60.5，得cos t＝－，
所以t＝π或t＝π，解得t＝4或t＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．
(3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰在你的朋友的正上方，再过半个周期时，恰相反，故过(6k＋2)(k∈Z)分钟后距离之差最大，最大值为40米．
解三角函数应用问题的基本步骤
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
[活学活用]
已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解：(1)由表中数据，知周期T＝12.
∴ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5， ①
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0， ②
∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为，
∴y＝cos t＋1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，
∴cos t＋1＞1，∴cos t＞0.
∴2kπ－＜t＜2kπ＋.
即12k－3＜t＜12k＋3， ③
∵0≤t≤24，故可令③中k分别为0,1,2，
得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
∴
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午3：00.
层级一 学业水平达标
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．x轴上 B．最低点
C．最高点 D．不确定
解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sin，s2＝5cos.
则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
解析：选C 当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.选C.
3.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )
A．， B．2，
C．，π D．2，π
解析：选A 当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为，故选A.
4.(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选C 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
解析：选C 因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9 500.当x＝3时，y＝9 000.
6．如图所示的是某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________ s往复一次．
解析：由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往复一次．
答案：0.8
7.如图，电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图象，则当t＝秒时，电流强度是________安．
解析：由图象可知，A＝10，周期T＝2×＝，所以ω＝＝100π，所以I＝10sin.
当t＝秒时，I＝10sin＝5(安)．
答案：5
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.
解析：依题意知，
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
则a＝＝23，A＝＝5，
则y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5 (℃)．
答案：20.5
9.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天的最大用电量和最小用电量．
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.
(2)观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
所以A＝×(50－30)＝10，
b＝×(50＋30)＝40.
因为×＝14－8，所以ω＝.
所以y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
所以所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
10．某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式；
(2)画出种群数量y关于时间t变化的草图．(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位)
解：(1)设表示该曲线的函数为y＝Asin(ωt＋a)＋b(A＞0，ω＞0，|a|＜π)．由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，故振幅A＝＝100，ω＝＝，b＝800.
又∵7月1日种群数量达到最高，
∴×6＋a＝＋2kπ(k∈Z)．
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
又∵|a|＜π，∴a＝－.
故种群数量y关于时间t的函数解析式为y＝800＋100sin (t－3)．
(2)种群数量关于时间变化的草图如图．
层级二 应试能力达标
1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：选B 由题意知A＝3，ω＝＝π.
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
解析：选C 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]．
3．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]，[7,12]
解析：选D ∵T＝12，∴＝，
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
从而可设y关于t的函数为y＝sin.
又t＝0时，y＝，即sin φ＝，不妨取φ＝，
∴y＝sin.
∴当2kπ－≤t＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)时，该函数递增，
∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．
4．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 由y＝－sin 的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7，故选C.
5．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为____________________．
解析：根据题图设h＝A·sin(ωt＋φ)，则A＝6，T＝12，＝12，∴ω＝，点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h＝6·sin＝－6·sin t，t∈[0,24]．
答案：h＝－6sin t，t∈[0,24]
6．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
解析：设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，ω＝＝＝.又由4sin φ＝－4.0，可得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t.
答案：y＝－4cos t
7．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
解：(1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2＜10.3，
有sin＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12.
令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
8.如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
解：(1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.当θ＞时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin；
当0≤θ≤时，上述解析式也适合．
则h与θ间的函数解析式为h＝5.6＋4.8sin.
(2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是＝，
∴t秒转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞)．
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．y＝sin 是( )
A．周期为4π的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数
解析：选A y＝sin 为奇函数，T＝＝4π，故选A.
2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
A．3 B．6
C．18 D．36
解析：选C ∵l＝αr，∴6＝1×r.
∴r＝6.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
∴S＝lr＝×6×6＝18.
3．若－＜α＜0，则点P(tan α，cos α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ∵－＜α＜0，∴tan α
微信/支付宝扫码支付