《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计

《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计 【1】 教学目标： 一、知识与技能： 1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性． 2．会求一些简单三角函数的周期. 二、过程与方法： 从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与 y=sinx 图 象的比较,概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合的方法研究正弦函数的周期性，通过类 比研究余弦函数的周期性． 三、情感、态度与价值观： 让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲 身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力． 教学重点： 1.周期函数的定义。 2.正弦余弦函数的周期性。教学难点： 1.周期函数定义。 2.运用定义求函数的周期。 教学过程： 一、创设情境，导入新课 1、生活中“周而复始”的现象：日出日落、白天黑夜、四季更替 2、数学中是否存在“周而复始”现象？ 根据正余弦函数的图象总结规律，正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的。 （1）图象特征：图象从 x 轴看等距离重复出现； （2）数值特征：当自变量 x 每增加的整数倍时，函数值重复出现。 数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律。 二、探究新知 1、周期的定义：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值 时，都有 f(x+T)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。 思考：（1）等式是否成立？如果成立，能不能说是的周期？ （2）正弦函数，x∈R 是不是周期函数？如果是，它的周期是多少？余弦函数呢？ （3）一个周期函数的周期有多少个？ 结论： （1）定义是对定义域内的每一个值 x 来说的，只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x)，不能说 T 就 是函数 f(x)的周期；就是说不能对 x 在定义域内的每一个值使，因此不是的周期； （2）正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是； （3）一个周期函数的周期不止一个：如果 T 是函数 f(x)的周期，那么 2T、3T、……kT 也是 函数 f(x)的周期。 2、最小正周期的定义：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个 最小正数就叫做 f(x)的最小正周期。 说明：谈到三角函数周期时，一般都是指的最小正周期。正弦函数和余弦函数的最小正周期 都是。 三、知识应用 例 2 求下列函数的周期： （1），x∈R（2），x∈R （3），x∈R 解：（1）∵ ∴自变量 x 只要并且至少要增加到，函数，x∈R 的值才能重复出现，所以函数，x∈R 的周 期是. （2）∵ ∴函数，x∈R 的周期是. 强调：自变量 x 本身加的常数才是周期. （3）∵ ∴函数，x∈R 的周期是. 通过以上例题，自主探究 T 与 x 的系数之间的关系，归纳总结： 函数（其中 A、、为常数，且 A≠0，＞0）的周期是，也可同法求之。 四、巩固练习求下列函数的最小正周期 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 五、课堂小结 1、周期函数、最小正周期的定义； 2、正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是，最小正周期都是； 3、函数和的周期都是。 六、布置作业 课本 P36 第 2 题、P46 第 3 题 七、课外延伸 思考：函数是周期函数吗？如果是，它的周期是多少？ 【2】共 1 课时 1.4.2　正弦函数、余弦函… 高中数学 人教 A 版 2003 课标版 1 教学目标 1.知识与技能目标 了解周期函数的概念； 掌握正弦余弦函数的周期性； 会判断简单函数的周期性，理解计算周期的公式 并会求简单三角函数的周期； 2.过程与方法目标 通过组织学生从生活实际问题逐步抽象出函数周期性的定义，不断增强学生分析问题解决问 题的能力； 归纳正弦函数的周期性，类比学习余弦函数的周期性，使学生进一步体会观察、比较、归纳、 分析等一般科学方法的应用； 在推导公式 T= 的过程中体会整体法的思想，并会用整体法解决三角函数周期性问题； 3.情感态度与价值观 ①通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律； ②体会三角函数是刻画周期现象的重要模型，增强学生的数学应用意识。 2 学情分析 学生已学习正、余弦函数的图像，能直观感知正、余弦函数的函数值有规律地重复出现，为 本课时讲其周期性做了很好的准备。3 重点难点 教学重点：对周期性的归纳以及简单三角函数周期的求法。 教学难点：对周期性的理解：f(x+T)=f(x),是对定义域内任意 x 都成立的。 4 教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动 1【导入】创设情境： 一周七天，从周一到周天，总是“周而复始”的进行着； 一年四季，春夏秋冬，也是在“周而复始”的交替着； 生活中这种周而复始的现象在生活中还有很多，比如地球的自转公转也体现了周而复始的规 律。而我们的数学学习中是不是也存在着这种周而复始的现象呢？ pt;line-height:150%'>生活中这种周而复始的现象在生活中还有很多，比如地球的自转公转也 体现了周而复始的规律。而我们的数学学习中是不是也存在着这种周而复始的现象呢？ 活动 2【导入】复习旧知、引入新知： 投影给出正弦函数的图像，学生观察 回顾：y=sinx,x∈[0,2π]的图像→y=sinx,x∈R 的图像。我们是通过平移得到的，平移是一种 只改变位置不改变形状的变换。 发现：正弦函数的图像具有“周而复始”的规律，其实质是正弦函数的值具有“周而复始” 的规律。 问题一：这个规律可以通过那个诱导公式来说明？答： sin(x+2kπ)=sinx,k∈Z 问题二：我们能不能尝试用代数语言对这种规律进行归纳？ 答： 设 f(x)=sinx，则对任意 x∈R，都有 f(x+2kπ)=f(x)。 活动 3【导入】新课讲解： ⒈概念：一般的，对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得定义域内的每一个 x 的 值，都有 f(x+T)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数。 非零常数 T 叫做这个函数的周期。 注意：①T 必须是一个非零常数。 ②T 是对定义域中的每一个 x 的值来说都有 f(x+T)=f(x)的。如果 T 只对个别 x 有 f(x+T)=f(x),则不能说 T 是函数的周期。 ⒉周期函数的周期不唯一。 由图我们可以得到下列一个结论： T 是 f(x)的周期，那么 kT 也是 f(x)的周期。（k 为非零常数）⒊在正弦函数的众多周期中有没有一个最特殊的存在？（2π） 最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小 正数就叫做函数的最小正周期。 一般的，不做特殊说明，我们所说的函数的周期就是指它的最小正周期。 结论：正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z 且 k≠0）都是它的周期,最小正周期为 2π. 活动 4【导入】自主探究：((引导同学自己完成探究以及总结的过程) 回想我们是怎样由正弦函数图像得到余弦函数的图像的?(平移变换) 根据平移变换的特点说明余弦函数也具有怎样的规律? 自己尝试总结余弦函数的周期性质? (余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z 且 k≠0）都是它的周期,最小正周期为 2π.) 注意：不是每个函数都有最小正周期，如常函数 f(x)=c,不存在最小正周期。 ⒋对于等式 f(x+T)=f(x)，x 本身加的常数才是周期。 例如：对于函数 f(x),f(2x+T)=f(2x),不能说 T 是周期，应该化简成 f[2(x+ )]=f(2x),x 本身加的常 数是 ,所以，函数的周期是 。巩固新课： 例二：求下列函数的周期（注意整体法的解题思想） y=3cosx, x∈R y=sin2x, x∈R y=2sin( x- ),x∈R 解：（1）cosx 是以 2π为周期的周期函数 ∴cos(x+2π)=cosx ∴3cos(x+2π)=3cosx 即 y=3cosx 的周期是 2π。 （2）sin(2x)=sin(2x+2π) sin(2x+2π)=sin[2(x+π)] sin(2x)= sin[2(x+π)] ∴y=sin2x 的周期为π。 令 z= y=2sin( x- )=2sinz, y=2sinz 的周期为 2π 2sin( x- )=2sinz=2sin(z+2π)= 2sin( x- +2π) =2sin[ (x+4π)- ] ∴y=2sin( x- )的周期是 4π。 探究与发现：你能从例二的解答中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量 有关吗？ 总结： 从例二可以看出，函数的周期与函数解析式中自变量 x 的系数有关。 对于函数：y=Asin(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0，ω>0） （整体法）： 令 z=ωx+Ψ, y=Asin(z)的周期为 2π，即 y=Asin(z)=Asin（z+2π) 即：y=Asin(ωx+Ψ)=Asin(ωx+Ψ+2π) =Asin[ω(x+ )+Ψ] ∴y=Asin(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0，ω>0）的周期为 。 ‚变式拓展：y=Asin(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0）的周期为 。 ƒ(请同学类比迁移学习方法，先自己尝试总结） 对于函数：y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0，ω>0）周期为 . y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0）的周期为 。 活动 5【导入】 课堂小结： 1）周期函数的定义：对定义域内任意 x 值有：f(x+T)=f(x)。 所有周期中最小的正整数叫做最小正周期。 2） ‚正弦余弦函数的周期性： 正弦函数 y=sinx 是周期函数，2kπ（k∈Z 且 k≠0）都是它的周期, 最小正周期为 2π. 余弦函数 y=cosx 是周期函数，2kπ（k∈Z 且 k≠0）都是它的周期, 最小正周期为 2π. 3）整体思想在求 ƒy=Asin(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0）与 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0）的 周期中的运用，掌握公式法求周期 。 活动 6【导入】作业布置 1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 课时设计 课堂实录1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 1 第一学时 教学活动 活动 1【导入】创设情境： 一周七天，从周一到周天，总是“周而复始”的进行着； 一年四季，春夏秋冬，也是在“周而复始”的交替着； 生活中这种周而复始的现象在生活中还有很多，比如地球的自转公转也体现了周而复始的规 律。而我们的数学学习中是不是也存在着这种周而复始的现象呢？ pt;line-height:150%'>生活中这种周而复始的现象在生活中还有很多，比如地球的自转公转也 体现了周而复始的规律。而我们的数学学习中是不是也存在着这种周而复始的现象呢？ 活动 2【导入】复习旧知、引入新知： 投影给出正弦函数的图像，学生观察 回顾：y=sinx,x∈[0,2π]的图像→y=sinx,x∈R 的图像。我们是通过平移得到的，平移是一种 只改变位置不改变形状的变换。 发现：正弦函数的图像具有“周而复始”的规律，其实质是正弦函数的值具有“周而复始” 的规律。 问题一：这个规律可以通过那个诱导公式来说明？ 答： sin(x+2kπ)=sinx,k∈Z 问题二：我们能不能尝试用代数语言对这种规律进行归纳？答： 设 f(x)=sinx，则对任意 x∈R，都有 f(x+2kπ)=f(x)。 活动 3【导入】新课讲解： ⒈概念：一般的，对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得定义域内的每一个 x 的 值，都有 f(x+T)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数。 非零常数 T 叫做这个函数的周期。 注意：①T 必须是一个非零常数。 ②T 是对定义域中的每一个 x 的值来说都有 f(x+T)=f(x)的。如果 T 只对个别 x 有 f(x+T)=f(x),则不能说 T 是函数的周期。 ⒉周期函数的周期不唯一。 由图我们可以得到下列一个结论： T 是 f(x)的周期，那么 kT 也是 f(x)的周期。（k 为非零常数） ⒊在正弦函数的众多周期中有没有一个最特殊的存在？（2π） 最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小 正数就叫做函数的最小正周期。 一般的，不做特殊说明，我们所说的函数的周期就是指它的最小正周期。 结论：正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z 且 k≠0）都是它的周期,最小正周期为 2π. 活动 4【导入】自主探究：((引导同学自己完成探究以及总结的过程) 回想我们是怎样由正弦函数图像得到余弦函数的图像的?(平移变换) 根据平移变换的特点说明余弦函数也具有怎样的规律? 自己尝试总结余弦函数的周期性质? (余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z 且 k≠0）都是它的周期,最小正周期为 2π.) 注意：不是每个函数都有最小正周期，如常函数 f(x)=c,不存在最小正周期。 ⒋对于等式 f(x+T)=f(x)，x 本身加的常数才是周期。 例如：对于函数 f(x),f(2x+T)=f(2x),不能说 T 是周期，应该化简成 f[2(x+ )]=f(2x),x 本身加的常 数是 ,所以，函数的周期是 。 巩固新课： 例二：求下列函数的周期（注意整体法的解题思想）y=3cosx, x∈R y=sin2x, x∈R y=2sin( x- ),x∈R 解：（1）cosx 是以 2π为周期的周期函数 ∴cos(x+2π)=cosx ∴3cos(x+2π)=3cosx 即 y=3cosx 的周期是 2π。 （2）sin(2x)=sin(2x+2π) sin(2x+2π)=sin[2(x+π)] sin(2x)= sin[2(x+π)] ∴y=sin2x 的周期为π。 令 z= y=2sin( x- )=2sinz, y=2sinz 的周期为 2π 2sin( x- )=2sinz=2sin(z+2π)= 2sin( x- +2π)=2sin[ (x+4π)- ] ∴y=2sin( x- )的周期是 4π。 探究与发现：你能从例二的解答中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量 有关吗？ 总结： 从例二可以看出，函数的周期与函数解析式中自变量 x 的系数有关。 对于函数：y=Asin(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0，ω>0） （整体法）： 令 z=ωx+Ψ, y=Asin(z)的周期为 2π，即 y=Asin(z)=Asin（z+2π) 即：y=Asin(ωx+Ψ)=Asin(ωx+Ψ+2π) =Asin[ω(x+ )+Ψ] ∴y=Asin(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0，ω>0）的周期为 。 ‚变式拓展：y=Asin(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0）的周期为 。 ƒ(请同学类比迁移学习方法，先自己尝试总结） 对于函数：y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0，ω>0）周期为 . y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0）的周期为 。 活动 5【导入】 课堂小结： 1）周期函数的定义：对定义域内任意 x 值有：f(x+T)=f(x)。 所有周期中最小的正整数叫做最小正周期。 2） ‚正弦余弦函数的周期性： 正弦函数 y=sinx 是周期函数，2kπ（k∈Z 且 k≠0）都是它的周期, 最小正周期为 2π. 余弦函数 y=cosx 是周期函数，2kπ（k∈Z 且 k≠0）都是它的周期, 最小正周期为 2π. 3）整体思想在求 ƒy=Asin(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0）与 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中 A≠0）的 周期中的运用，掌握公式法求周期 。 活动 6【导入】作业布置