九年级数学上册《一元二次方程》知识点归纳

九年级数学上册《一元二次方程》知识点归纳 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 （1）一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是2； ③是整式方程。 （2）一元二次方程的一般形式 一般形式： ax2+ bx + c = 0(a ≠0). 其中，ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 （3）一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一：直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得 （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二：配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为： （1）一移：把常数项移到等号的右边； （2）二除：方程两边都除以二次项系数； （3）三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）四开：若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. 21.2.3 因式分解法 知识点一因式分解法解一元二次方程 （1)因式分解法解定义 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接开平方法 平方根的意义 形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当ab=0，则a=0或b=0 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有 22.3实际问题与一元二次方程 知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2）设：是指设元，也就是设出未知数。 （3）列：就是列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4）解：就是解方程，求出未知数的值。 （5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6）答：写出答案。 知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1±x）2=b。 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有： ①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量； ③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。