说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分130分，考试时间90分钟．
注意事项：
1．试卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在试卷上．
2．要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑．
3．其余注意事项，见答题卡．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．4的平方根是（ ）
Ａ． Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．
2．某天傍晚，北京的气温由中午的零上3℃下降了5℃，这天傍晚北京的气温是（ ）
Ａ．零上8℃ Ｂ．零上2℃ Ｃ．零下8℃ Ｄ．零下2℃
3．计算的结果是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．在下面4个图案中，为中心对称图形的是（ ）
Ａ．①，② Ｂ．①，③ Ｃ．①，④ Ｄ．③，④
5．如图，在平行四边形中，相交于点．下列结论中正确的个数有（ ）
结论：①，②，③，④．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
6．函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ）
7．如图，是一个比例尺的中国地图，则北京、佛山两地之间的实际直线距离大约是（ ）
Ａ．km Ｂ．km Ｃ．km Ｄ．km
８．如图，平地上两棵不同高度、笔直的小树，同一时刻在太阳光线照射下形成的影子分别是，则（ ）
Ａ．四边形是平行四边形 Ｂ．四边形是梯形
Ｃ．线段与线段相交 Ｄ．以上三个选项均有可能
9．某人在做掷硬币实验时，投掷次，正面朝上有次（即正面朝上的频率是）．则下列说法中正确的是（ ）
Ａ．一定等于 Ｃ．一定不等于
Ｃ．多投一次，更接近 Ｄ．投掷次数逐渐增加，稳定在附近
10．如图，矩形草坪中，．现需要修一条由两个扇环构成的便道，扇环的圆心分别是．若便道的宽为，则这条便道的面积大约是（ ）（精确到）．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡中）．
11．计算： ．
12．圆和圆有多种位置关系，与图中不同的圆和圆的位置关系是 ．
13．为了解佛山市老人的身体健康状况，在以下抽样调查中，你认为样本选择较好的是 （填序号）．
①100位女性老人；②公园内100位老人；
③在城市和乡镇选10个点，每个点任选10位老人．
14．如图，数轴上的两个点所表示的数分别是，在中，是正数的有 个．
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是，则图中四个小正方形的面积之和是 ．
三、解答题（在答题卡上作答，写出必要的解题步骤．16～20题每小题6分，21~23题每小题10分，24题12分，25题13分，共85分）
16．化简：．
17．右图是一个正方体的展开图，标注了字母“”的面是正方体的正面．如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求的值．
18．某初级中学为了解学生的身高状况，在1500名学生中抽取部分学生进行抽样统计，结果如下．
组别
分组
频数
频率
1
130.5～140.5
3
0.05
2
140.5～150.5
0.15
3
150.5～160.5
27
4
160.5～170.5
18
0.30
5
170.5～180.5
3
0.05
合计
请你根据上面的图表，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）指出“众数”、“中位数”各在哪一组？（不要求说明理由）
19．小明、小华用牌面数字分别为1，2，3，4的4张扑克牌玩游戏．他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面．若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数，则小明获胜；反之，小华获胜．这个游戏公平吗？请说明理由．
20．已知：如图，是的直径，是的弦，过点作的切线与的延长线交于点．若，，求的长．
21．如图，分别为的边上的点，与相交于点．现有四个条件：①，②，③，④．
（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 （均填序号）．
（2）证明你写出的命题．
已知：
求证：
证明：
22．已知：在直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点为折线上的动点，线段把分割成两部分．
问：点在什么位置时，分割得到的三角形与相似？
（注：在图上画出所有符合要求的线段，并求出相应的点的坐标）．
23．某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产两种产品共40件，生产两种产品用料情况如下表：
需要甲原料
需要乙原料
一件种产品
7kg
4kg
一件种产品
3kg
10kg
设生产产品件，请解答下列问题：
（1）求的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案；
（2）若甲种原料50元／kg，乙种原料40元／kg ，说明（1）中哪种方案较优？
24．已知：在四边形中，，分别是上的点，且．设四边形的面积为，．
（1）如图1，当四边形为正方形时，
①求关于的函数解析式，并求的最小值；
②在图2中画出①中函数的草图，并估计时的近似值（精确到0.01）；
（2）如图3，当四边形为菱形，且时，四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
25．在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，提示研究对象的本质特征．比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：，，，，（都是正整数）．我们亦知：，，，，．
（1）请你根据上面的材料归纳出之间的一个数学关系式；
（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若克糖水里含有克糖，再加入克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”；
（3）如图，在中，．能否根据这个图形提炼出与（1）中同样的关系式？并给予证明．
微信/支付宝扫码支付