一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的( )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
2.下列命题中,一定正确的是
A. B.若,则
C.≥ D. n
3.在四边形中,,,则四边形
A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
4.若向量=(cos,sin),=(cos,sin),则a与一定满足( )
A.与的夹角等于- B.(+)⊥(-) C.∥ D.⊥
5.已知向量≠,||=1,对任意t∈R,恒有|-t|≥|-|,则 ( )
A.⊥ B.⊥(-) C.⊥(-) D.(+)⊥(-)
已知向量≠,||=1,对任意t∈R,恒有|-t|≥|-|,则 ( )
A ⊥ B ⊥(-) C ⊥(-) D (+)⊥(-)
6.平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点(2,-1),(-1,3),若点满足其中0≤≤1,且,则点的轨迹方程为
A.(-1≤≤2) B. (-1≤≤2)
C. D.
7.若,且,则向量与的夹角为 ( )
A 30° B 60° C 120° D 150°
8.已知向量(,),(,),与的夹角为,则直线与圆的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.随的值而定
9.在△ABC中,已知的值为( )
A.-2 B.2 C.±4 D.±2
10.点P在平面上作匀速直线运动,速度向量=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为( )
A (-2,4) B (10,-5) C (-30,25) D (5,-10)
11..设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有等于 ( )
A 2 B C -3 D -
12.为了得到函数y=sin(2x-)的图像,可以将函数y=cos2x的图像 ( )
A 向右平移个单位长度 B 向左平移个单位长度
C 向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.)
13.已知向量,且A、B、C三点共线,则k=_ __
14.直角坐标平面中,若定点与动点满足,则点P的轨迹方程是__________.
15.已知点A(2,0),B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x运动,则使取得最小值的点P的坐标是 .
16.下列命题中:
①∥存在唯一的实数,使得;
②为单位向量,且∥,则=±||·;③;
④与共线,与共线,则与共线;⑤若
其中正确命题的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应有证明过程或演算步骤)
17.已知△ABC中,∠C=120°,c=7,a+b=8,求的值。
18.设向量,向量垂直于向量,向量平行于,试求的坐标.
19.已知M=(1+cos2x,1),N=(1,sin2x+a)(x,a∈R,a是常数),且y =· (O是坐标原点)(1)求y关于x的函数关系式y=f(x);
(2)若x∈[0,],f(x)的最大值为4,求a的值,并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到.
20.在平面直角坐标系中,已知,满足向量与向量共线,且点都在斜率为6的同一条直线上。若。求
(1)数列的通项 (2)数列{}的前n项和
21.已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α()。
(1)若,求角α的值; (2)若=-1,求的值.
22.已知向量
(1);
(2)(理科做)若
(文科做)求函数的最小值。
参考答案
一、1.D 2.B 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.A 9.D 10.B 11.C 12.C
二、13. 14.x+2y-4=0 15.(0,0) 16.②③
三、17.解:解法1:由正弦定理:,
代入
∴
解法2:由
∵,∴
∴(也可由余弦定理求解)
18.解:设 ,∴,∴①
又 即:②
联立①、②得 ∴ .
19.解:(1)y=·=1+cos2x+sin2x+a,得f(x) =1+cos2x+sin2x+a;
(2)f(x) =1+cos2x+sin2x+a化简得f(x) =2sin(2x+)+a+1,x∈[0,]。
当x=时,f(x)取最大值a+3=4,解得a=1,f(x) =2sin(2x+)+2。
将y =2sin(x+)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标保持不变,再向上平移2个单位长度可得f(x) =2sin(2x+)+2的图象。
20.解:(1)∵点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上, ∴=6,即bn+1-bn=6,
于是数列{bn}是等差数列,故bn=12+6(n-1) =6n+6.
∵共线.
∴1×(-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn
∴当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1
=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2)
当n=1时,上式也成立。 所以an=.
(2)
21.解:(1)∵=(cos-3, sin), =(cos, sin-3).
∴∣∣=。
∣∣=。
由∣∣=∣∣得sin=cos.又∵,∴=.
(2)由· =-1,得(cos-3)cos+sin (sin-3)=-1 ∵sin+cos=.①
又.
由①式两边平方得1+2sincos= , ∴2sincos=, ∴
22.解:(1)
⑵(理科)
①当时,当县仅当时,取得最小值-1,这与已知矛盾;
②当时,取得最小值,由已知得
;
③当时,取得最小值,由已知得
解得,这与相矛盾,综上所述,为所求.
(2)(文科)
∴当且仅当取得最小值