2010中考数学热点专题突破训练――动态型问题1

类型之二   存在性动态题 存在性动态题运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断. 3..（·河南)如图，直线 和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S． ① 求S与t的函数关系式； ② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值． 4．(·湖州市) 已知：在矩形 中， ， ．分别以 所在直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 是边 上的一个动点（不与 重合），过 点的反比例函数 的图象与 边交于点 ． （1）求证： 与 的面积相等； （2）记 ，求当 为何值时， 有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点 ，使得将 沿 对折后， 点恰好落在 上？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．     5.（·白银市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）． (1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；  (2) 当t=       秒或      秒时，MN= AC； (3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；  (4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．                                    类型之三   开放性动态题 开放性问题的条件或结论不给出，即条件开放或结论开放，需要我们充分利用自己的想像，大胆猜测，发现问题的结论，寻找解决问题的方法，正确选择解题思路。解答开放性问题的思维方法及途径是多样的，无常规思维模式。开放性问题的条件、结论和方法不是唯一的，要对问题充分理解，分析条件引出结论，达到完善求解的目的。 6.（苏州）如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ．动点 从 点出发沿 以每秒1个单位的速度向终点 运动，动点 从 点出发沿 以每秒2个单位的速度向 点运动．两点同时出发，当 点到达 点时， 点随之停止运动． （1）梯形 的面积等于           ； （2）当 时，P点离开D点的时间等于     秒； （3）当 三点构成直角三角形时， 点离开 点多少时间？                                7.（·福州）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？                                                                    8.（·苏州）课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当△AOB旋转90°时，得到∠A1OB1．已知A（4，2），B（3，0）． （1）△A1OB1的面积是           ；A1点的坐标为（     ，     ）；B1点的坐标为（     ，     ）； （2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C（2，1）逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交x轴于E．此时A′，O′和B′的坐标分别为（1，3），（3，-1）和（3，2），且O′B′经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，求四边形CEBD的面积． （3）在（2）的条件下，△AOB外接圆的半径等于     ．                                                                 动态型问题 1.【解析】要想证明△ABC与△SBR相似，只要证明其中的两个角相等即可；要想得到TS=PA，只要证明△TPS≌△PFA即可；对于（3），需要建立正方形PTEF的面积y与AP的函数关系式，利用函数的极值来解决. 【答案】解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS＝∠BRS＝45°. 在△ABC与△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角， ∴△ABC∽△SBR.. (2)线段TS的长度与PA相等. ∵四边形PTEF是正方形， ∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°, 在Rt△PFA中，∠PFA ＋∠FPA＝90°, ∴∠PFA＝∠TPS， ∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS. 当点P运动到使得T与R重合时， 这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA＝TS. 由以上可知，线段ST的长度与PA相等. (3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高， ∴PS＝BS, ∴BS＋PS＋PA＝1, ∴PS＝ . 设PA的长为x，易知AF=PS， 则y＝PF ＝PA ＋PS ,得y＝x ＋( ) , 即y＝ ，(5分) 根据二次函数的性质，当x＝ 时，y有最小值为 . 如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA＝TS为最大. 易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR， ∴PA＝ . 如图3，当P与A重合时，得x＝0. ∴x的取值范围是0≤x≤ . ∴①当x的值由0增大到 时，y的值由 减小到 ∴②当x的值由 增大到 时，y的值由 增大到 ∵ ≤ ≤ ，∴在点P的运动过程中， 正方形PTEF面积y的最小值是 ，y的最大值是 . 2.【解析】本题是双动点问题，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。 【答案】解：（1）连接 ． 与 相切于点 ， ，即 ． ， ， ． （2）过点 作 ，垂足为 ． 点 的运动速度为5cm/s，点 的运动速度为4cm/s，运动时间为 s， ， ． ， ， ． ， ． ． ， 四边形 为矩形， ． 的半径为6， 时，直线 与 相切． ①当 运动到如图1所示的位置． ． 由 ，得 ．解得 ． ②当 运动到如图2所示的位置． ． 由 ，得 ． 解得 ． 所以，当 为0.5s或3.5s时直线 与 相切． 3.【答案】（1）将 代入 ，得 ， 点 的坐标为 ； 将 代入 ，得 ， 点 的坐标为 ． 在 中， ， ， ． 又 ， ， ， 是等腰三角形． （2） ，故点 同时开始运动，同时停止运动． 过点 作 轴于 ， 则 ， ①当 时（如图甲）， ， ． 当 时（如图乙）， ， ． （注：若将 的取值范围分别写为 和 也可以） ②存在 的情形． 当 时， ． 解得 ， （不合题意，舍去）． ，故当 时， 秒． ③当 轴时， 为直角三角形． ，又 ． ， ． 当点 分别运动到点 时， 为直角三角形， ． 故 为直角三角形时， 秒或 秒． 4. 【答案】（1）证明：设 ， ， 与 的面积分别为 ， ， 由题意得 ， ． ， ． ，即 与 的面积相等． （2）由题意知： 两点坐标分别为 ， ， ， ． 当 时， 有最大值． ． （3）解：设存在这样的点 ，将 沿 对折后， 点恰好落在 边上的 点，过点 作 ，垂足为 ． 由题意得： ， ， ， ， ． 又 ， ． ， ， ． ， ，解得 ． ． 存在符合条件的点 ，它的坐标为 ． 5.【解析】该题所蕴涵的知识量较大，并以动态形式，着重考查了四边形、三角形、相似形、平面直角坐标系、二次函数、不等式组等知识点，且解法思路多样化，易于发展学生的各种思维能力。 【答案】解：(1)（4，0），（0，3）； (2) 2，6； (3) 当0＜t≤4时，OM=t． 由△OMN∽△OAC，得 ， ∴ ON= ，S= ． 当4＜t＜8时， 如图，∵ OD=t，∴ AD= t－4． 方法一：由△DAM∽△AOC，可得AM= ，∴ BM=6－ ． 由△BMN∽△BAC，可得BN= =8－t，∴ CN=t－4． S=矩形OABC的面积－Rt△OAM的面积－ Rt△MBN的面积－ Rt△NCO的面积 =12- - （8－t）（6- ）- = ． 方法二：易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t． 由△BMN∽△BAC，可得BM= =6－ ，∴ AM= ，以下同方法一． (4) 有最大值． 方法一：当0＜t≤4时，∵ 抛物线S= 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大， ∴ 当t=4时，S可取到最大值 =6； 当4＜t＜8时，∵ 抛物线S= 的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S＜6． 综上，当t=4时，S有最大值6． 方法二： ∵ S=   ∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示． 显然，当t=4时，S有最大值6． 6.【解析】这是一个集几何、代数知识于一体的综合题，既能考查学生的创造性思维品质，又能体现学生的实际水平和应变能力，其解题策略是“动”中求“静”，“一般”中见“特殊”，抓住要害，各个击破． 【答案】解：（1）36；（2） 秒； （3）当 三点构成直角三角形时，有两种情况： ①当 时，设 点离开 点 秒， 作 于 ， ． ， ， ． 当 时， 点离开 点 秒． ②当 时，设 点离开 点 秒， ， ． ． ． ． ． 当 时，点 离开点 秒． 由①②知，当 三点构成直角三角形时，点 离开点 秒或 秒． 7.【解析】解决运动型的问题，关键是将其运用过程在头脑当中预演一遍，找准其运用时各个量的变化规律，再动中取静，得到相关量之间的关系． 【答案】解：（1） 是等边三角形． 当 时． ． ． ． 又 ， 是等边三角形． （2）过 作 ，垂足为 ． 由 ，得 ． 由 ，得 ． ． （3） ， ． 又 ， 是等边三角形． ． ， ， ． 四边形 是平行四边形． ． 又 ， ． ， ． ，即 ． 解得 ． 当 时， 8.【解析】这是一道坐标几何题，中考中的坐标几何题，融丰富的几何图象于一题，包含的知识点较多；代数变换（包括数式变换、方程变换、不等式变换）与几何推理巧妙融合，交相辉映，数形结合思想和方法得到充分运用.本题（2）中的面积的计算是根据旋转不变性，构造全等三角形，将四边形的面积进行转化，这是一种重要的数学思想方法. 【答案】：证明：（1）3． ， （2）作 于 ， 轴于 ， 的横坐标相等， 轴， 四边形 为矩形． 又 ， 矩形 为正方形． ． ， ． 在 和 中， ． ． （3） ．