2010年高考数学新题型附解析选编（六）

2010年高考数学新题型附解析选编（六）  1、已知命题：平面上高考资源网一矩形 的对角线 与边 和     所成角分别为 ，则 。若把它推广到空     间长方体中，试写出相应的命题形式：____________________     _____________________________________________________。 长方体 中，对角线 与棱 所成的角分别为 ，则 ， 。或是：长方体 中，对角线 与平面 所成的角分别为 ，则 ， 。或是：长方体 中，对角面 与平面 所成的二面角分别为 ，则 。    2、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．(1)设数列 是公方差为 的等方差数列，求 和 的关系式；(2)若数列 既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；(3) 设数列 是首项为 ，公方差为 的等方差数列，若将 这种顺 序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．  (1)解：由等方差数列的定义可知： ………………5分 (2)证法一：∵ 是等差数列，设公差为 ，则 又 是等方差数列，∴ ………………………………7分∴ 即 ，   …………………………………10分∴ ，即 是常数列．…………………………………………………11分证法二：∵ 是等差数列，设公差为 ，则 ……1又 是等方差数列，设公方差为 ，则 ……2…………7分1代入2得， ……3    同理有， ……4两式相减得：即 ，…………………………………10分∴ ，即 是常数列．………………………………………………11分 证法三：（接证法二1、2） 由1、2得出：若 ，则 是常数列    …………………8分 若 ， 则   是常数,   ∴ ，矛盾…………10分 ∴     是常数列．                      …………………11分(3)依题意， ， ，      ∴ ，或 ，      ……………………………13分   即该密码的第一个数确定的方法数是 ，其余每个数都有“正”或“负”两种 确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是 种，故，这种密码共 种．…………………………………………………16分    3、已知函数 ，当点 在 的图像上高考资源网移动时， 点 在函数 的图像上高考资源网移动． （1） 若点P坐标为（ ），点Q也在 的图像上高考资源网，求 的值； （2） 求函数 的解析式； （3） 当 时，试探求一个函数 使得 在限定定义域为 时有最小值而没有最大值． 解：（1）当点 坐标为（ ），点 的坐标为 ，…………2分∵点 也在 的图像上高考资源网，∴ ，即 ．……5分 （根据函数 的单调性求得 ，请相应给分）（2）设 在 的图像上高考资源网则 ，即     ……………………………………8分而 在 的图像上高考资源网，∴ 代入得， 为所求．…………………………………11分 （3） ；或   等．     …………………15分如：当 时， ∵ 在 单调递减，   ∴      故 ，即 有最小值 ，但没有最大值．………………………18分 （其他答案请相应给分） （参考思路）在探求 时，要考虑以下因素：① 在 上高考资源网必须有意义（否则不能参加与 的和运算）；②由于 和 都是以 为底的对数，所以构造的函数 可以是以 为底的对数，这样与 和 进行的运算转化为真数的乘积运算；③以 为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过乘积消去 ；⑤乘积的结果可以是 的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线 的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了），考虑到该二次函数的图像与 轴已有了一个公共点 ，故对称轴又应该是 轴或在 轴的右侧（否则该二次函数的值在 上高考资源网的值不能恒为正数），即若抛物线与 轴的另一个公共点是 ，则 ，且抛物线开口向下．    4、如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数 时，输出结果记为 ，且计算装置运算原理如下： ①                    若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则 ；②若Ⅰ输入固定的正整数， Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1， Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。     试求：     （1） 的表达式 ；（2） 的表达式 ；     （3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数 ，则输出结果 能否为2005？ 若能，求出相应的 ；若不能，则请说明理由。 解：（1）    （2）    （3）  ，∵ ，         ∴ 输出结果不可能为 。    5、对数列 ，规定 为数列 的一阶差分数列，其中 。     对自然数 ，规定 为 的 阶差分数列，其中 。   （1）已知数列 的通项公式 ，试判断 ， 是否为等差或等比数列，为什么？   （2）若数列 首项 ，且满足 ，求数列 的通项公式。   （3）对（2）中数列 ，是否存在等差数列 ，使得 对一切自然 都成立？若存在，求数列 的通项公式；若不存在，则请说明理由。   解：（1） ，∴ 是首项为4，公差为2的等差数列。          ∴ 是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。      （2） ，即 ，即 ，∴          ∵ ，∴ ， ， ，猜想：          证明：ⅰ）当 时， ；                ⅱ）假设 时，                 时，  结论也成立               ∴由ⅰ）、ⅱ）可知，       （3） ，即           ∵           ∴存在等差数列 ， ，使得 对一切自然 都成立。                6、对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f (x)与g (x)，如果对任意x∈[m，n]均有| f (x) – g (x) |≤1，则称f (x)与g (x)在[m，n]上是接近的，否则称f (x)与g (x)在[m，n]上高考资源网是非接近的，现有两个函数f 1(x) = loga(x – 3a)与f 2 (x) = loga (a > 0，a≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．    （1）若f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a的取值范围；    （2）讨论f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？ 解：（1）要使f 1 (x)与f 2 (x)有意义，则有               要使f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上高考资源网有意义， 等价于真数的最小值大于0 即    （2）f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上高考资源网是接近的 | f 1 (x) – f 2 (x)|≤1 ≤1 |loga[(x – 3a)(x – a)]|≤1 a≤(x – 2a)2 – a2≤ 对于任意x∈[a + 2，a + 3]恒成立 设h(x) = (x – 2a)2 – a2，x∈[a + 2，a + 3] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边 当 时 f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上高考资源网是接近的 当 < a < 1时，f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上高考资源网是非接近的．  7、已知 是定义在 －∞，＋∞ 上高考资源网的函数， ∈ －∞，＋∞ ，请给出能使命题：“若 ＋1＞0，则 ＋ ＞ ＋ ”成立的一个充分条件：                                               ． 已知 是定义在 －∞，＋∞ 上高考资源网的函数， ∈ －∞，＋∞ ，请给出能使命题：“若 ＋1＞0，则 ＋ ＞ ＋ ”成立的一个充分条件：_______. 答案： 函数 在 －∞，＋∞ 上高考资源网单调递增（或 ＝ ＋ （ ＞0）等）     ．  8、歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690—1764）曾研究过“所有形如 （ ， 为正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号： ＝ ＋ ＋┅ ＋ ＋┅ 写出你对此问题的研究结论：  ＝1   （用数学符号表示）．  9、集合P＝ 1，3，5，7，9，┅，2 －1，┅ ∈N ，若 ∈P， ∈P时，   ∈P，则运算  可能是（   D   ） （A）加法；  （B）除法；  （C）减法；  （D）乘法．  10、 ， ，┅， ， ， ，┅， 分别表示实数 ， ，┅， 中的最小者和最大者． （1）作出函数 ＝｜ ＋3｜＋2｜ －1｜（ ∈R）的图像； （2）在求函数 ＝｜ ＋3｜＋2｜ －1｜（ ∈R）的最小值时，有如下结论： ＝ ， ＝4．请说明此结论成立的理由； （3）仿照（2）中的结论，讨论当 ， ，┅， 为实数时， 函数 ＝ ＋ ＋┅＋ ∈R， ＜ ＜┅＜ ∈R 的最值． 解：（1）图略； （2）当 ∈（－∞，－3）时， 是减函数， 当 ∈ －3，1）时， 是减函数， 当 ∈ 1，＋∞）时， 是增函数， ∴ ＝ ， ＝4． （3）当 ＋ ＋┅＋ ＜0时， ＝ ， ，┅， ； 当 ＋ ＋┅＋ ＞0时， ＝ ， ，┅， ； 当 ＋ ＋┅＋ ＝0时， ＝ ， ， ＝ ， ．