2010年高考数学新题型附解析选编

2010年高考数学新题型附解析选编  1、已知 （1） , 求 的最小值 （2）P、Q关于点（1，2）对称，若点P在曲线C上高考资源网移动时，点Q的轨迹是函数 的图象，求曲线C的轨迹方程。 （3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从 可抽象出 的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质 由         可抽象出 由         可抽象出  (1) …………3’ 等号当x=2时成立，   …………………………4’ (2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)………………………………………………5’ 由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)………………………………８’  (3) h(x)=_______y=2x等_______, ９’     φ(x)=____y=lgx等__11’    2、已知函数 的最大值为正实数，集合 ，集合 。 （1）求 和 ； （2）定义 与 的差集： 且 。 设 ， ， 均为整数，且 。 为 取自 的概率， 为 取自 的概率，写出 与 的二组值，使 ， 。 （3）若函数 中， ，  是（2）中 较大的一组，试写出 在区间[ ,n]上高考资源网的最大值函数 的表达式。 答案：（1）∵ ，配方得 ，由 得最大值 。……………………………………………………………3分         ∴ ， 。…………………………6分    （2）要使 ， 。可以使① 中有3个元素， 中有2个元素， 中有1个元素。则 。…………………………………………………9分 ② 中有6个元素， 中有4个元素， 中有2个元素。则 …………………………………………………………………………12分 （3）由（2）知 …………………………13分   ………………………………………………18分   1 A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 Bn An An+1 2 3 4 n x O y …  3、在数学拓展课上高考资源网，老师规定了一种运算:a*b=  ,例如：1*2=1，3*2=2，则函数 的值域为 。      4、已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）     顺次为一次函数 图象上高考资源网的点，    点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）     顺次为x轴正半轴上高考资源网的点，其中x1=a（0＜a＜1），     对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以     Bn为顶点的等腰三角形。 ⑴求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列； ⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；     ⑶在上高考资源网述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由。 解：（1） (nÎN),yn+1-yn= ,∴{yn}为等差数列 (4¢)    （2）xn+1-xn=2为常数 (6¢) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差为2的等差数列，         ∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，         ∴xn=   (10¢)    （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2 =2( )Þxn+1-xn=2( )         当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).         Þ2(1-a)=2( ) Þa= (n为奇数，0＜a＜1)  (*)         取n=1，得a= ，取n=3，得a= ，若n≥5，则(*)无解； (14¢)         当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.         ∴2a=2( )Þa= (n为偶数，0＜a＜1)  (*¢)，取n=2，得a= ,         若n≥4，则(*¢)无解.         综上高考资源网可知，存在直角三形，此时a的值为 、 、 . (18¢)    5、⑴证明：当a＞1时，不等式 成立。 ⑵要使上高考资源网述不等式 成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。     ⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。 解：（1）证： ,∵a＞1，∴ ＞0，            ∴原不等式成立 (6¢)    （2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立，∴上高考资源网述不等式的条件可放宽         为a＞0且a¹1 (9¢)    （3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a¹1，m＞n＞0，则有 (12¢)        证：左式-右式=  (14¢)        若a＞1，则由m＞n＞0Þam-n＞0,am+n＞0Þ不等式成立；        若0＜a＜1，则由m＞n＞0Þ0＜am-n＜1, 0＜am+n＜1Þ不等式成立.(16¢)    6、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图： 加密密钥密码 发送 解密密钥密码            明文                    密文            密文                明文，     现在加密密钥为y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，     再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密     后得到明文为    14      。  7、规定a△b= ，a, b ，若1△k=3，则函数f(x)=k△x的值域为   (1,+¥ )       8、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；    反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语    言描述为：若有限数列  满足 ，则                                                                            （结论用数学式子表示）. 和    9、已知数列 ，其中 是首项为1，公差为1的等差数列； 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列（ ）. （1）若 ，求 ； （2）试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围； （3）续写已知数列，使得 是公差为 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ [解]（1） .                      …… 4分    （2） ，                        …… 8分     ，     当 时， .                     …… 12分    （3）所给数列可推广为无穷数列 ，其中 是首项为1，公差为1的等差数列，当 时，数列 是公差为 的等差数列.      …… 14分 研究的问题可以是：试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围.…… 16分 研究的结论可以是：由 ，     依次类推可得      当 时， 的取值范围为 等.                        …… 18分  10、定义一种运算“*”，对于 ，满足以下运算性质： ① ；② 。则 的数值为_____3004_____。