2012年中考数学模拟试卷(四)

  数学（四） 注意事项：  1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔功圆珠笔直接答在试卷上． 3．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 题号 一 二 三 总分 16 17 18 19 20 21 22 23                         得分 评卷人               一、         选择题（每小题3分，共18分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1．- 的倒数是                                                      （     ） A．            B． -           C．          D． - 1 2 3 42．如图，直线a∥直线b，∠1=∠2，∠3=150°，∠4的大小               （     ） a A．60°                     B．40° C．50°                     D．30° （第2题） b 3．下列计算正确的是                            （     ） A．(2x2)3=8x6                B．5a2b-2a2b=3  C．x6÷x2 =x3                         D．(a-b)2-2ab=a2+b2 4．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是      （     ） A．                 B．    （第4题）  C．                 D．   5．如图为某正方体搭成几何体的俯视图，小正方块的数字表示在该位置的小正方体的个数，那么这个几何体的主视图为                                         （      ） 1 2 3 A B C D 俯视图       1 0 x y 6．若b>0二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下图，则a等于              （      ） A．1                          B．–1 C．                    D．     （第6题）   得分 评卷人      二、         填空题（每题3分，共27分）  7．- 的立方根是         ． 8．函数y = 中，自变量x的取值范围为         ．     9．我国有13亿人口，这个数据用科学记数法表示为            ．（结果保留2个有效数字） 10．在一次体育测试中，六位学生“俯卧撑”的次数分别为4、6、3、13、4、6，那么这六位学生“俯卧撑”次数的平均数是         ；中位数是        ； 方差是           ． 11． 如图，AB为⊙O直径，AB过弦CD的中点E，∠BOC =150°， 则∠ABD =       ． （第11题）12． 抛物线y =2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m值为       ．   （第13题）13． 如图，扇形MON的圆心角为直角，半径为2 ，正方形OABC内接于扇形，点A、C、B分别在OM、 ON、 倍 上，过M做ME⊥CB交CB的延长线于E，则图中阴影部分的面积为         ．  14．如图，已知AB=12，BC⊥AB于点B， AD⊥AB于点A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，则AE的长为        ．     （第14题） （第15题）    15．在Rt△ABC中，BC=2cm，∠B=60°，若将其从如图位置沿着直线a向右滚动（不滑动）一周后，再向右平移 cm，则点A所经过的路线长为          cm． 得分 评卷人      三、解答题（本大题8个小题，共75分）  16．（8分）先化简，再求值：  ，其中x = ．                  17． (9分) 已知△ABC为等边三角形，过AC边上的点D作DE∥AB，交BC与E，在ED的延长线上取点F，使DF=DA，连接FC， BD． （1）求证：△CEF≌△DCB （2）过点F作FG∥DB，交AB于点G，连接CG，请你先补全图形，然后判断△CFG的形状，并证明．         A：不了解 B：一般了解 C：了解较多 D：熟悉18．（9分）第三十届奥运会将于2012年7月27日至8月12日在英国伦敦举行．小刚同学就本班学生对奥运知识的了解程度进行了一次调查统计，下图为其收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．          请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）该班共有多少名学生？并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （3）从该班中任选一人，其对奥运知识的了解程度应为“熟悉”的概率是多少？          19．（9分）“康科迪亚”号大型游轮在地中海搁浅，派直升机与搜救船巡察情况，在距海面900米的A处测得搜救船在俯角为30°的海面C处，当直升机以140 米／分的速度平行飞20分钟后到B处时测得搜救船在俯角为60°的海面D处，求搜救船平均速度．（保留三位有效数字；参考数据 =1. 414， =1. 732）            20．（9分）如图，一次函数y = kx+1与反比例函数y = 的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD = 4S△DOC ， AO =2． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； O A B C D x y P （2）根据图象写出当x＞0时，反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围．                    21．（9分）近年来榆林地区实行绿化企业制，希望经过几年努力，绿化程度大大改善，现向苗商订购一批树苗．已知此次绿化工程需要杨树苗2300株，梧桐树苗2040株；物流公司提供甲、乙两种型号的货车共50辆，已知甲型号货车可装载杨树苗50株和梧桐树苗30株，乙型号货车可装载杨树苗40株和梧桐树苗60株．若设租甲种货车x辆． （1）问一共有多少种装载方案? （2）已知租用一辆甲种货车需租金120元，租用一辆乙种货车需租金160元，若租车总费用为y元，请你求出y与x之间的关系式，及租车费用最少的方案．       22．（10分）正方形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，若∠BAE=30°， ∠DAF=15°． （1）试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并证明； （2）若正方形的边长为 ，求△AEF的面积； （3）若连接BD，交AE于M、交AF于N，请探究线段BM、MN、DN之间的数量关系，并给出证明．          23．（12分）把Rt△ABC如图放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC=90°，若点A的坐标为（0，4），AO = 2OB，且∠OAB =∠BAC． （1）求过点A、B、C三点的抛物线解析式； （2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长； A B C O x y （3）在AC上是否存在点Q，使得△QBC为等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．              参考答案 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．B  【相关知识点】倒数 【解题思路】乘积为1的两数互为倒数，所以- 的倒数是- . 2．D  【相关知识点】对顶角相等及平行线的性质 【解题思路】由两直线平行同位角、内错角相等得∠1=∠4，∠2+∠3=180°，∴∠4=∠2=30°. 3．A  【相关知识点】代数式的有关运算 【解题思路】积的乘方等于各因式的乘方的积，即（ab）n=anbn,同底数幂的除法等于底数不变，指数相减,即 . 4．B  【相关知识点】不等式组的解法 【解题思路】观察数轴可得不等式组的解集为 5．D  【相关知识点】三视图 【解题思路】主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等. 6．B  【相关知识点】二次函数的性质. 【解题思路】由二次函数图象过原点可得a2—1=0，∴a=+1,再由抛物线的开口向下可知a＜0, ∴a=-1. 二、填空题（每题3分，共27分）     7．-2  【相关知识点】平方根、立方根 【解题思路】由平方根的定义知- =-8，所以求- 的立方根实际就是求-8的立方根，再由立方根的定义可得-2． 8．   【相关知识点】分式、二次根式 【解题思路】由分式有意义的条件为分母不为零得：2-x≠0,所以x≠2,又由二次根式有意义的条件得：x+1≥0,所以x≥-1,所以 . 9．1．3×109  【相关知识点】科学记数法 【解题思路】科学记数法的形式为：a×10n(1≤a＜10，n为整数），所以13亿=1300000000=1.3×109. 10．6；5；11  【相关知识点】平均数、中位数、方差 【解题思路】求中位数时要先把这列数按大小顺序排列，如果这列数有偶数个，此时就找最中间的两个，求其平均数即可；方差公式：S2= ，套用公式即可. 11．15°  【相关知识点】圆的性质 【解题思路】由垂径定理可得∠DOE=∠COE=180°-150°=30°，再由同圆或等圆中，同弧对的圆周角等于圆心角的一半得∠ABD=15°. 12．8       【相关知识点】二次函数 【解题思路】当二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点时，b2-4ac=82-4×2m=0,所以m=8. 13．（4 -4）  【相关知识点】正方形、矩形 【解题思路】连接OB，则OB=2 ,由正方形的性质得，OA=AB=2，所以AM=2 -2，所以阴影部分的面积=2×（2 -2）=4 -4 14．   【相关知识点】勾股定理、相似三角形的性质 【解题思路】过点C作CG⊥AD交DA的延长线于G，过E作EF⊥AG于F，则四边形ABCG为矩形，所以CG=AB=12，AG=BC=10，进而得EF=6，AF= ,由勾股定理得出AE= . 15． 【相关知识点】图形的旋转、弧长公式 【解题思路】弧长公式为 ；在运动的过程中，首先A将沿着以点C为圆心，AC为半径的圆弧运动，此时弧长为 ，然后沿着点A为圆心，AB长为半径的圆弧运动，此时A未动，接着A沿着点B为圆心，BC长为半径的圆弧运动，其弧长为 ，最后向右平移，所以A所经过的路线总长为 .  三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16．原式= …………………  6分 ∵x =   ∴原式        ………………………………  8分 【相关知识点】分式的运算 【解题思路】先把分式的分子、分母因式分解，然后化简，最后再代值计算. 17．（1）证明：∵EF∥AB， △ABC为等边三角形 ∴∠CED=∠CBA=∠ACB=60°，AC=BC ∴△CDE为等边三角形      …………  1分 ∴CE=DE=CD ∴AD=BE                  …………  2分 又∵FD=AD ∴FD=EB ∴FD+DE=EB+CE ∴EF=BC                 …………  3分 又∵∠FEC=∠BCD ∴△CEF≌△DCB（SAS）   …………  4分 (2)（画图略） △CFG为等边三角形        …………  5分 证明：∵FG∥DB，FD∥GB ∴四边形FGBD为平行四边形 ∴FG=DB， ∠DFG=∠DBG         …………  6分 ∵△CEF≌△DCB ∴∠EFC=∠CBD，FC=DB ∴∠EFC+∠GFE=∠ABD+∠CBD=∠CBA=60° …………  8分 FC=FG ∴△CFG为等边三角形．                    …………  9分 【相关知识点】全等三角形的判定、平行线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质和判定 【解题思路】（1）利用“SAS”全等三角形的判定方法证明；（2）利用平行四边形的性质：对边相等，对角相等证明. 18．解：5÷10 =50（人） 所以该班共有50名学生． 所以“一般了解”的学生有：50×30 =15（名） “熟悉”的学生有：50-5-15-20=10（名） （补图略）    ……………………………………………………  3分 （2）360°× 所以“了解较多”部分所对应的圆心角的度数为144°．………6分 （3）P（熟悉）= 所以该班任选一人对奥运知识的了解程度为“熟悉”的概率为 ．…………  9分 【相关知识点】统计、概率 【解题思路】由条形统计图可知“不了解”的学生人数，由扇形统计图可知“不了解”的学生本班总人数的百分比，所以可得该班人数.再结合圆周角解决（2），由概率的概率概念解决（3）. 19．解：由题意得：AB=140 ×20=2800 （米）            …………  1分 过C作CE⊥AB于E，过B作BF⊥CD于F，则CE=BF=900米．  …………  2分 ∵CE⊥AB，∠BAC=30° ∴在Rt△ACE中 tan30°= ∴ ∴AE=900                                   …………  3分      ∴BE=AB-AE=2800 -900 =1900           …………  4分 ∵BF⊥CD， ∠BDF=60° ∴在Rt△BFD中 tan60°= ∴              ∴DF = 300                         …………  5分 ∵AB∥CD， CE⊥AB，BF⊥CE． ∴四边形CEBF为矩形．                …………  6分 ∴BE = CF = 1900 ∴CD = 1900 +300 = 2200        …………  7分   ∴2200 ÷20 = 110 ≈191（米／分） …………  8分 答：搜救船的平均速度为191米／分．     ………… 9分 【相关知识点】解直角三角形，特殊角的三角函数值 【解题思路】过点C作CE⊥AB，过B作BF⊥CD,构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解决. 20．解：（1）∵y = kx+1交y轴于点D． ∴D(0，1)                             …………  1分 ∵PA⊥x轴 ， PB⊥y轴，  ∠BOA=90° ∴四边形OAPB为矩形．                …………  2分 ∴BP = OA = 2 ∴BP∥CA ∴∠BPC =∠PCA                      …………  3分 ∵∠BDP =∠CDO ∴△BDP∽△ODC       ∵S△PBD = 4S△DOC  ∴                      …………  4分 ∵AO = BP = 2 ∴CO = BP = 1 ∴C(-1，0) ∴一次函数解析式为：y = x+1           …………  5分 ∵OD = 1 ∴BD = 2 ∴BO = 3 ∴P(2，3)                            …………  6分 ∴m=xy=2×3=6         ∴y=                                    …………  7分 (2)若反比例函数值小于一次函数的值则x＞2．  …………  9分 【相关知识点】一次函数、反比例函数、矩形性质、相似三角形的性质 【解题思路】由y=kx+1得△BDP∽△ODC，再由相似三角形的面积的比等于相似比的平方得出DB、BP的长，从而求得P点坐标，进而再求解析式. 21．解：（1）由题意得 50x+40(50-x)≥2300 30x+60(50-x)≥2040                      …………  2分 ∴30≤x≤32  ∵x正整数 ∴x = 30或31或32 ∴共有三种装载方案．                   …………  3分 （2）由题意得  y = 120x+160(50-x)     =-40x+8000                           …………  5分 ∴y与x之间的关系式为y =-40x+8000             …………  8分 ∵y是关于x的一次函数，且-40＜0   ∴y随x的增大而减小                     …………  6分  ∵ 30≤x≤32  ∴当x=32时，  y最小=6720                …………  7分   ∴租车费用最少的方案为甲车32辆，乙车18辆． …………  9分   【相关知识点】不等式组、一次函数 【解题思路】(1)由题意理解出：当车都满载时所运杨树株数≥2300，梧桐树苗株数≥2040，从而得出不等式组，解其整数解的个数，即就有几种方案.(2)把租车费用与x的关系式列出，结合一次函数的性质来解决. 22．（1）解：EF=BE+DF    证明：延长CB至G，使BG=DF，连结AG．（如图）   …………  1分 ∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD，∠ABC=∠ABG=∠D=∠BAD=90° ∴△ABG≌△ADF (SAS)                     …………  2分 ∴∠GAB=∠DAF=15°，AG=AF        ∵AE=AE ∴△AGE≌△AFE(SAS) ∴EF=EG ∵EG=BG+BE=BE+DF ∴EF=BE+DF                              …………  3分 (2)过点A作AH⊥EF于H（如图），          ∵∠BAE=30°，∠ABE=90°，AB= ∴BE=1， ∴EC= -1                    …………  4分 由（1）中△AGE≌△AFE可得∠AEB=∠AEF ∴∠AEB=∠AEF=60° ∴∠FEC=60° ∴EF=2EC=2 -2              …………  5分 又∵∠ABE=∠AHE=90°，AE=AE ∴△ABE≌△AHE(AAS) ∴AH=AB= ∴S△AEF=          …………  6分 (3)BM2+DN2=MN2 证明：过点A作AN′⊥AN，且使AN′=AN，连接BN′、MN′（如图）． 在正方形ABCD中 ∵∠BAM=30°， ∠NAD=15° ∴∠NAM=45° ∴∠N′AM=∠NAM=45° ∵AM=AM ∴△AN′M≌△ANM(SAS)                   …………  7分 ∴MN′=MN ∵AB=AD， ∠BAD=90° ∴∠DAN+∠BAN=90° ∵∠N′AB+∠BAN=90° ∴∠N′AB=∠DAN=15° ∵AN′=AN ∴△ABN′≌△AND(SAS)                …………  8分 ∴∠N′BA=∠D=∠ABD=45° BN′= DN ∴∠N′BM=90°                      …………  9分 ∵N′B2+BM2=N′M2 ∴BM2+DN2=MN2                                      …………  10分 【相关知识点】全等三角形的判定、正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的判定 【解题思路】(1)在证明两条线段的和等于第三条线段时，往往利用截长补短的方法解决.（3）中需通过添加辅助线，把BM、DN、MN放在同一个三角形中来解决. 23．解：（1）过点C作CD⊥x轴于D． ∵A（0，4），  AO=2BO ∴OB=2 ∴B(2，0)        …………  1分 ∵∠ABC=∠AOB=90° ∠OAB=∠BAC  ∴△ABC∽△AOB ∴ ∴ ∵∠OBA+∠CBD=90° ∠OBA+∠OAB=90° ∴∠OAB=∠CBD ∵∠CDB=∠AOB=90° ∴△AOB∽△BDC ∴ ∴BD=2， DC=1 ∴C（4，1）          ………… 2分 ∵抛物线过点A（0，4） ∴设抛物线解析式为：y = ax2+bx+4        …………  3分 又∵抛物线过B（2，0），C（4，1） ∴   4a+2b+4=0 16a+4b+4=1 解得：a =   ∴抛物线解析式为：y = x2- x+4       …………  4分 (2)抛物线的对称轴为：直线x =-   …………  5分 作A关于直线x = 的对称点A′，则A′（ ，4）………6分 作M关于x轴的对称点M′，则M′（0，-2）  …………  7分 连接A′M′交x轴于点E，交直线x = 于点F 则此时点P经过的路线最短，         由对称性得：ME+FE+FA= A′M′…………  8分 又∵A′M′= ∵直线A′M′解析式为：y = ∴E（ ，0），   F（ ，1）      …………  9分 (3)①若QB=QC时，Q1(2， )     …………  10分 ②若QC=BC时，Q2( )       …………  11分 ③若QB=BC时，Q3( )…………  12分 【相关知识点】相似三角形的判定、二次函数、轴对称的性质、二元一次方程组、等腰三角形的判定 【解题思路】(1)根据相似三角形的性质求点的坐标.(2)根据所求点的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式.（3）利用轴对称的性质先把点M、A分别转移到x轴、对称轴的两侧，再利用两点之间线段最短确定出点E和F的位置及最短路线长.(4)由等腰三角形的性质结合相似得出Q点坐标.